Movimiento armónico simple (III)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de direcciones perpendiculares.

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:

$$x=Asen(wt) \wedge y=Bsen(wt+\phi)$$

La resultante será:

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}cos\phi=sen^2\phi$$

Si están en fase: $$\phi=0 \rightarrow y=\frac{B}{A}x$$ Si están en oposición: $$\phi=180º \rightarrow y=-\frac{B}{A}x$$ Si están en cuadratura: $$\phi=90º \rightarrow \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$$ Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:

$$x=Asen(w_1t) \wedge y=Bsen(w_2t+\phi)$$

Al ser las frecuencias diferentes, la diferencia de fase no es constante y la figura se va modificando de modo continuo, pero siempre inscrita en un rectángulo de semilados A y B.
Se obtienen curvas muy variadas según la relación de los periodos de los movimientos componentes y la diferencia de fase inicial (figuras de Lissayous).

Cuadrados mágicos (II)

 Un cuadrado mágico es una tabla en forma de matriz cuadrada donde las filas, las columnas y las diagonales principales suman el mismo valor y que recibe el nombre de constante mágica.

El cuadrado mágico más famoso es el de Alberto Durero, llamado diabólico, porque la constante mágica se puede obtener combinando 4 celdas de otras muchas formas: las 4 esquinas, las 4 centrales, las 2 centrales de la fila superior e inferior, las 2 centrales de la primera y última columna, cada uno de los subcuadrados en que se divide el cuadrado completo, etc.

Vamos a determinar la constante mágica para los cuadrados mágicos formados por números en progresión aritmética o geométrica.

La suma de los números del cuadrado mágico que están en progresión aritmética de diferencia d es:

$$S=\frac{a_1+a_m}{2}m=\frac{a_1+a_1+(m-1)d}{2}m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}m$$

Si el cuadrado es de tamaño n y su constante mágica es M(n):

$$m=n^2 \wedge S=n \cdot M(n)$$  

entonces se cumple:

$$n \cdot M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n^2$$

y el valor de la constante mágica para un cuadrado de tamaño n es:

$$M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n$$

De manera análoga, si los números del cuadrado están en progresión geométrica de razón r, se tiene que:

$$M(n)=(a_1^2+r^{n^2-1})^{\frac{n}{2}}$$