El reparto de la tarta

Queremos celebrar el "post" número 100, mediante una tarta que queremos repartir entre nuestros visitantes:

El problema consiste en cuántos trozos queda dividida la tarta en función del número de cortes:

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes.

¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con n cortes?

En vez de resolver este problema por medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes.

El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte t₁ se suma una parte más, lo que da dos partes en total. El corte t₂ suma dos partes más, totalizando 4 y el corte t₃ suma tres partes más, totalizando 7.

Parece que cada corte suma un número de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué.

Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos.

Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cada sección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatro secciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismo ocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar.

Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática.

Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una lista que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:

• número de cortes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
• número de partes: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,...

¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes? ¿Y con n cortes?

Sólo tenemos que sumar 7 a 22 para saber que la respuesta es 29. La ilustración muestra cómo puede lograrse que seis cortes produzcan 22 partes:

$$t_0=1;$$ $$t_1=t_0+1=2;$$ $$t_2=t_1+2=4;$$ $$t_3=t_2+3=7;$$
$$t_4=t_3+4=11;$$ $$t_5=t_4+5=16;$$ $$ t_6=t_5+5=22...$$

El término general "parece" ser: $$t_n=t_{n-1}+n$$

Podemos expresarlo de la siguiente manera:

$$t_n=t_{n-1}+n=$$ $$t_{n-1}+(n-1)+n=$$ $$t_{n-1}+(n-2)+(n-1)+n=$$
$$...=t_0+[1+2+3...(n-2)+(n-1)+n]$$$$=1+\frac{1}{2}(1+n)n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+1$$

Para validar la fórmula hay que demostrarla por inducción:
$$t_{n+1}=t_n+n+1=(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+1)+n+1=\frac{1}{2}n^2+\frac{3n}{2}+2$$

Si desarrollamos la expresión: $$\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{2}(n+1)+1$$ se obtiene la misma expresión y por tanto queda demostrado.

Otra forma de obtener el término general es observar que las 2ª diferencias entre valores consecutivos son constantes:

• términos:1, 2, 4, 7, 11, 16, 22..
• 1ª diferencias: 1, 2, 3, 4, 5, 6..
• 2ª diferencias: 1, 1, 1, 1, 1...

y por tanto "parece" que se ajustan a una parábola y resolviendo el sistema tomando tres términos conocidos, se obtiene también la expresión del término general.