jueves, 21 de abril de 2011

Triángulo de Realeaux

El triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante y por tanto, puede rodar entre dos rectas paralelas tocando siempre un punto arriba y otro abajo.

¿Puede un taladro abrir agujeros cuadrados en un material?. Un círculo inscrito en un cuadrado, al girar mantiene el contacto con los cuatros lados y siempre en sus puntos medios y generará un círculo. En cambio, un triángulo de Reuleaux adecuado, al girar (en la perforadora de Watts el centro de rotación no es fijo) describirá un cuadrado con las vértices redondeados.

Fuente: BeOSmAn's Blooog. Triángulos y motores.

Si la distancia entre dos puntos del triángulo es una constante d, el perímetro de la figura es la suma de los tres arcos:
$$p=3\cdot\left(\pi\cdot \frac{d}{3} \right)=\pi\cdot d$$
que es el perímetro de una circunferencia de diámetro d.

En cuanto al área limitada por una curva de ancho constante, la encerrada por el tríangulo de Realeaux es la más pequeña posible y se calcula como:
$$A=0.705 \cdot d^2$$


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Las puntas del triángulo de Realeaux pueden redondearse sin que éste pierda su propiedad de curva de anchura constante. Basta con prolongar los lados del triángulo una longitud arbitraria y, haciendo centro en los vértices, unir los extremos de las prolongaciones.


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Una generalización de la construcción anterior:

Sea un triángulo de vértices A, B, C y lados opuestos a, b, c, respectivamente. Se escoge una medida k mayor que a+b, a+c y b+c. Con centro en A se traza el arco f1 de radio k-a y el arco f2 de radio k-b-c. Con centro B se traza el arco g1 de radio k-a-c y el arco g2 de radio k-b. Finalmente con centro en C se traza el arco h1 de radio k-c y el arco h2 de radio k-a-b.

¡Se obtiene siempre una curva de anchura constante!


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Se pueden construir curvas de anchura constante partiendo de cualquier polígono regular, e incluso irregular, siempre que que el número de lados sea impar.

Se puede generalizar a tres dimensiones, obteniendo figuras sólidas de anchura constante como las esferas. Por ejemplo rotando un triángulo de Realueux alrededdor de unos de sus ejes o a partir de un tetraedro cubriendo sus caras con casquetes esféricos.

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