miércoles, 30 de marzo de 2011

Arquímedes y el número π

Arquímedes
Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más tarde se demostró era irracional, le llamaron π (pi). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23).

Traducido al lenguaje algebraico:
$$\pi=\frac{C}{D}=\frac{30}{10}$$
donde C es la circunferencia y D el diámetro.

En el papiro de Rhind, los egipcios dieron como valor del número π la siguiente aproximación:
$$\pi = \left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{256}{81}=3,1604938$$

Fue Arquímedes el primero que científicamente calculó el número π por aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:
$$ \frac{223}{71}<\pi<\frac{220}{70} $$ es decir $$ 3,140845 < \pi < 3,142857 $$

Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de π, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas del número π del siguiente modo:
$$\pi_n = \frac{P_n}{D}$$
donde P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia de diámetro D.

Arquímedes utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy parecido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Desgraciadamente Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y dar una aproximación mejor. Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.


Observa en la figura, que hemos llamado a1 al lado del cuadrado inscrito y a2 al del octógono regular, entonces ¿cuánto vale an? Por trigonometría podemos deducir que:
$$a_1=2\cdot\sin(45)$$
$$a_2=2\cdot\sin(\frac{45}{2})$$
$$\ldots $$
$$a_n=2\cdot\sin(\frac{45}{2^{n-1}})$$

Por otro lado el perímetro de los sucesivos polígonos inscritos se puede calcular como:
$$P_1=4 \cdot a_1$$
$$P_2=8 \cdot a_2$$
$$\ldots $$
$$P_n=2^{n+1}\cdot a_n$$

Teniendo en cuenta que la circunferencia tiene un diámetro D = 2, podemos afirmar que la siguiente expresión es una aproximación por defecto del número π:
$$ \pi= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{P_n}{D} = \lim \limits_{n \to \infty} \left[ 2^{n+1} \cdot\sin \left(\frac{45}{2^{n-1}}\right) \right] $$

La tabla muestra la sucesivas aproximaciones del número π. Como se puede ver, con sólo 10 iteraciones (que corresponde con un polígono de 512 lados) conseguimos 5 cifras significativas.

6 comentarios:

William Clavijo Robinzón Clavijo dijo...

Pi Pirámides de Guiza

Simplemente esto:

Pi/2 * (10 * ((7 * 4 + /(PI/7)/4^2*10))*4) = 439,999 (Base Keops codos)
10 * ((2Pi * 7) /Pi/2) = 280 codos (Altura Keops)
2 es el diámetro del círculo
4 es el área del cuadrado circunscrito al círculo unitario
1 es el radio
El perímetro es = 8
El perímetro menos el radio = 7
10 es el factor de Escala

Pi en Kefrén

123 * 7 = 861m (Perímetro Kefrén)
Base: (861 m / π/6) /4 = 411,097218006366 codos (Base en codos)
Base: 411,097218006366 codos * π/6 = 215,25 metros (Base en metros)
Altura: 861 m / π = 274,064812 codos
Altura: 274,064812 codos * π/6 = 143,5 metros
Pi = 861 / 274,064812 = 3,14159265358979

Pi (π) en Mycerinus

Base Menor Pirámide = 335 pies = 102,108 metros
102,108 metros * π/2 = 65 metros (Altura Mycerinus)

Cinco Aproximaciones rápidas de Pi con 14 dígitos (Rectificación)

1. 3 +√2/10 + (√2/2 +1)/10^4 + (√3/2 +5)/10^7 + ((√√2 + 6) +7/10^3)/10^11 = 3,14159265358979

2. (7 +1/10) / ((9 + 4/100)/4) - ((8/√2) - 3) + 1/100)/10^7) - 1/(√1,25 + √0,5 + √2 + √3 + √5 + √7 + √8)*10^10 + (√3/2)/10^14 = 3,14159265358979

3. 6*((√1,25 +1,5)/5) - (2 + √8)/10^5) + (4/√7)/10^7 + 1/ (√√8 +10)*10^10
4. + 1 / (√1,25 - 4/1000)/10^10 = 3,14159265358978

5. 4*(0,5 + ((√0,5 +5)/10)/2) + ((2 + √0,5) + 1)/10 + (1 / (√7/10)) /10^4 + (√5/10 + √2)/10^6 + (2/√7)/10^10 + ((8 + √7) - 0,5)/10^12 = 3,14159265358979

6. √8 + 0,25 + 0,0625 + (1 /(150 + ((√7 + 3)/10) + 2)/10)*10) + 1 / (√0,5/3)*10^11
7. + 1 /(7 + √5) / √7)*10^12 = 3,14159265358979

Anónimo dijo...
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Wilberth Castro dijo...

Muy bien, pero cómo se calcula el seno? convirtiendo esos grados a radianes? o sea, usando pi?

Saludos.

LeoWejexD dijo...

Mat

Anónimo dijo...

La demostración del método de Arquímedes se basa en polígonos inscritos. Pero el calculo es un poco más farragoso y se basa en el teorema de Pitágoras.... pero poner senos en esta demostración me parece un grabe error. Toma las idea de Arquímedes pero usa una matemática posterior.

Carlos Alexander Cedeño Macias dijo...

π= 4/√φ
π= 3.14460918705…
Algo tan sencillo, ademas esta no es la unica forma de obtener π (pi) π = (14-√2)/4
π= 3.146446600941…
La diferencia importante esta en el tercer dígito.
El valor que obtuvo Arquimides esta errado puesto que a la N.A.S.A. ese valor le muchos problemas para poder construir las naves para poder realizar lanzamientos al espacio...