martes, 30 de septiembre de 2025

Conjetura de Kakeya

Durante más de un siglo, uno de los problemas más intrigantes de las matemáticas ha sido la conjetura de Kakeya. Esta cuestión, planteada en 1917 por el matemático japonés Sōichi Kakeya, pregunta cuál es la región de menor área donde puede girarse una aguja de manera completa. Aunque su enunciado es sencillo, su resolución ha desafiado a generaciones de expertos en análisis matemático y geometría.
El problema original de Kakeya se plantea en dos dimensiones: ¿Cuál es la región más pequeña en la que una aguja de longitud unitaria puede girar 180 grados? Se demostró que estos conjuntos pueden tener área arbitrariamente pequeña, lo que llevó a conjeturar que en espacios de mayor dimensión podrían también ser "demasiado pequeños".
 Sin embargo, la versión tridimensional de esta conjetura, ahora resuelta, establece que, aunque estos conjuntos puedan tener volumen cero, su dimensión geométrica debe ser 3. Esto significa que, aunque ocupen poco espacio, siguen teniendo una estructura compleja en el espacio tridimensional.
Este resultado no solo resuelve una cuestión matemática teórica, sino que también tiene aplicaciones en áreas como la física y la informática. Los conjuntos de Kakeya están relacionados con la propagación de ondas y la estructura de los datos en espacios de alta dimensión, lo que los hace relevantes para la criptografía y el análisis de señales.
Ahora, un equipo de matemáticos ha logrado un avance clave en esta conjetura, resolviendo su versión tridimensional. Investigadores de la Universidad de Nueva York y la Universidad de Columbia Británica han demostrado que los conjuntos de Kakeya en tres dimensiones, aunque puedan tener volumen cero, siempre deben ser tridimensionales. Este resultado, publicado en preprint en arXiv, ha sido calificado como un hito en la teoría geométrica y tiene implicaciones en análisis armónico, teoría de números e incluso criptografía.
El nuevo estudio, liderado por Hong Wang y Joshua Zahl, utiliza herramientas avanzadas de análisis geométrico para demostrar la estructura tridimensional de estos conjuntos. Una de las claves del avance ha sido el análisis de la disposición de "tubos" en el espacio tridimensional. En términos matemáticos, el equipo mostró que "la unión de tubos en 3D debe tener un volumen casi máximo", lo que implica que un conjunto de Kakeya no puede ser demasiado pequeño. Para ello, aplicaron un método conocido como inducción en escalas, que les permitió descomponer el problema en estructuras más manejables y demostrar la propiedad tridimensional de los conjuntos de Kakeya. El propio matemático Terence Tao, ganador de la Medalla Fields en 2006, destacó la importancia del hallazgo al afirmar que se trata de "un espectacular avance en la teoría de la medida geométrica". Este comentario subraya el impacto del descubrimiento dentro de la comunidad matemática.

lunes, 18 de agosto de 2025

Teorema de Snover (2000)

Dado un triángulo, construimos cuadrados sobre sus lados y unimos los nuevos vértices para definir tres nuevos triángulos, como se muestra en la figura. Entonces, cada uno de estos tres triángulos tienen la misma área que el triángulo inicial.

La solución es geométrica: Se eliminan los cuadrados y posteriormente se gira cada triángulo 90º en el sentido opuesto de las agujas del reloj. Cada triángulo forma con el triángulo original un nuevo triángulo. Pero al ser el lado común de esos dos triángulos una mediana del triángulo completo, tienen la misma base y altura y por tanto la misma área.
  • Se puede cambiar la forma del trángulo inicial moviendo sus vértices.
  • Siempre se cumple el teorema: mismas áreas.
  • Al mover los deslizadores se pueden girar los triángulos hasta 90 grados.
  • Se pueden mostrar u ocultar los cuadrados.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
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sábado, 21 de junio de 2025

Selectividad Ciencias Sociales Curso-2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

lunes, 16 de junio de 2025

Selectividad Ciencias-Curso 2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

viernes, 23 de mayo de 2025

La parábola y el producto de dos números

En la figura se muestra una parábola con un punto A en la rama de la derecha y un punto B en la rama de la izquierda. Se unen mediante un segmento que corta al eje de ordenadas en el punto C. El valor de la ordenada en ese punto es el resultado del producto de dos números que son las abscisas, en valor absoluto, de los puntos A y B.

La pendiente de la recta que pasa por A y B es: $$\frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$$ La ecuación de la recta es: $$y-a^2=(a-b)(x-a)$$ El punto de corte con el eje de ordenadas es: $$y-a^2=(a-b)(0-a)=-a^2+ab \rightarrow y(0)=ab$$
  • Se pueden mover los puntos A y B para obtener el punto C.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
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