Los números de Lah y de Hal

Los números de Lah fueron descubiertos, en 1954, por el matemático esloveno Ivo Lah (1896-1979)  y son los coeficientes que permiten expresar factoriales crecientes en función de factoriales decrecientes.

Un factorial creciente es:

$$x^{(n)}=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)$$

Un factorial decreciente es:

$$x_{(n)}=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$$

Así, por ejemplo, se tiene que:

$$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=6x+6x(x-1)+1x(x-1)(x-2)$$

$$x^{(3)}=6x_{(1)}+6x_{(2)}+1x_{(3)}$$

Los números de Lah se denotan como L(n,k) donde n es el grado del polinomio creciente y k los grados de los polinomios decrecientes. Así, en el ejemplo, los números de Lah son:

$$L(3,1)=6, L(3,2)=6, L(3,3)=1$$

y por tanto:

$$x^{(3)}=L(3,1)x_{(1)}+L(3,2)x_{(2)}+L(3,3)x_{(3)}$$

La fórmula general para obtener los factoriales crecientes en función de los factoriales decrecientes es:

$$x^{(n)}=\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x_{(k)}$$

y la fórmula para obtener los números de Lah directamente es:

$$L(n,k)=\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$

Hay una fórmula de recurrencia para obtener, a partir de L(n,1)=n!,  los demás términos del polinomio dado:

$$L(n,k+1)=\frac{n-k}{k(k+1)}L(n,k) \rightarrow L(3,2)=\frac{3-1}{1·2}L(3,1)=6$$

Hay otra fórmula de recurrencia para obtener nuevos números al variar n:

$$L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)$$

$$L(n,0)=0 \wedge L(n,k)=0 \wedge k>n$$

Por ejemplo, para obtener los números de Lah para el polinomio de cuarto grado a partir de los números del polinomio de grado tres:

$$L(4,1)=(3+1)L(3,1)+L(3,0)=4·6+0=24$$

$$L(4,2)=(3+2)L(3,2)+L(3,1)=5·6+6=36$$

$$L(4,1)=(3+3)L(3,3)+L(3,2)=6·1+6=12$$

$$L(4,1)=(3+4)L(3,4)+L(3,3)=4·0+1=1$$

Por otra parte llamaremos números de Hal a los coeficientes que permiten expresar factoriales decrecientes en función de factoriales crecientes.

$$x_3{(3)}=x(x-1)(x-2)=6x-6x(x+1)+1x(x+1)(x+2)$$

$$x_{(3)}=6x^{(1)}-6x^{(2)}+1x^{(3)}$$

Así, en el ejemplo, los números de Hal son:

$$H(3,1)=6, H(3,2)=-6, H(3,3)=1$$

y por tanto:

$$x_{(3)}=H(3,1)x^{(1)}+H(3,2)x^{(2)}+H(3,3)x^{(3)}$$

La fórmula de recurrencia es:

$$H(n+1,k)=(n+k)H(n,k)-H(n,k-1)$$

$$H(n,0)=0 \wedge H(n,k)=0 \wedge k>n$$

La fórmula cerrada es:

$$H(n,k)=(-1)^k \left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$