Dados de Sicherman

Según Martin Gardner, el coronel George Sicherman de Buffalo fue el primero en plantear y resolver la siguiente pregunta:

¿Se pueden numerar dos dados de forma diferente a la estándar de tal manera que se obtengan las mismas sumas y con las  mismas probabilidades  que en los dados estándar?

En la imagen izquierda se muestran los resultados posibles con dos dados tradicionales y en la imagen de la derecha los mismos resultados pero con dos dados numerados de forma diferente

La función generatriz del lanzamiento de un dado cúbico es el polinomio: $$f(x)=\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{6}x^5+\frac{1}{6}x^6$$ donde los exponentes indican los posibles resultados y los coeficientes su probabilidad. Se supone,  en el caso del dado, que los sucesos son equiprobables (1/6). Si se lanza dos dados se tiene: $$f^2(x)=(\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{6}x^5+\frac{1}{6}x^6)^2$$ $$f^2(x)=6^{-2}(x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+$$ $$6x^7+5x^8+4x^9+3x^{10}+2x^{11}+x^{12})$$

Vemos que las sumas 2 y 12 son las menos probables y en cambio la suma 7 es la más probable.

Vamos a aplicar la fórmula de las progresiones geométricas a la función generatriz del lanzamiento de un dado:

$$f(x)=\frac{1}{6}\frac{x(x^6-1)}{x-1}=\frac{1}{6}\frac{x(x^3+1)(x^3-1)}{x-1}=$$

$$\frac{1}{6}x(x^3+1)(x^2+x+1)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$

Elevando al cuadrado se obtiene la función del lanzamiento de dos dados que permite descomponerla como producto de dos funciones:

$$f^2(x)=g(x)h(x)$$

$$g(x)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2+x+1)=\frac{1}{6}(x+2x^2+2x^3+x^4)$$

que corresponde a las características del primer dado.

$$h(x)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2=$$

$$\frac{1}{6}(x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8)$$

que corresponde a las características del segundo dado.

Veamos que también se puede conseguir con dados tetraédricos:

La función generatriz del lanzamiento de un dado tetrédrico es el polinomio:

$$f(x)=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{4}x^4=\frac{1}{4}\frac{x(x^4-1)}{x-1}=$$

$$\frac{1}{4}\frac{x(x^2-1)(x^2+1)}{x-1}=\frac{1}{4}x(x+1)(x^2+1)$$

Elevando al cuadrado se obtiene la función del lanzamiento de dos dados que permite descomponerla como producto de dos funciones:

$$f^2(x)=g(x)h(x)$$

$$g(x)=\frac{1}{4}x(x^2+1)^2=\frac{1}{4}(x+2x^3+x^5)$$

que corresponde a las características del primer dado.

$$h(x)=\frac{1}{4}x(x+1)^2=\frac{1}{4}(x+2x^2+x^3)$$

que corresponde a las características del segundo dado.

Recordemos que el cubo y el tetraedro son dos de los cuerpos platónicos. ¿Es posible conseguirlo con los otros cuerpos platónicos? Es decir, con dados octaédricos, dodecaédricos e icosaédricos. En el caso del octaedro hay tres pares de soluciones:

{1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9} y {1, 2, 2, 3, 5, 6, 6, 7}

{1, 2, 5, 5, 6, 6, 9, 10} y {1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6}

{1, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 11} y {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5}

Para el dodecaedro hay 7 soluciones y para el icosaedro se debe suponer un número más grande todavía.