Jean le Ronde d'Alembert junto con Denis Diderot fueron dos figuras decisivas de La Ilustración. A ellos se debe, fundamentalmente, la elaboración y dirección de L'Enciclopédie (1751-1772), obra magna que recogía con una visión laica y basada en la razón, de forma sistemática todos los conocimientos acumulados hasta entonces. Aunque D'Alembert trabajó en distintos campos de las matemáticas, vamos a presentar su pequeña contribución a la teoría de números.
Dado el número: n=a0a1⋯an cuyo desarrollado en potencias es: n=10ma0+⋯+10am−1+am Si es divisible por 10-p, también lo es el número (y viceversa): n∗=pma0+⋯+pam−1+am Restando ambos números: n−n∗=(10m−10p)a0+⋯+(10−p)am−1 y aplicando la identidad: am−bm=(a−b)(am−1+am−2b+am−3b2+am−4b3⋯+bm−1) a cada paréntesis, se observa que n-n* es un múltiplo de 10-p Si n y n-n* son múltiplos de 10-p, entonces n* es múltiplo de 10-p.
Análogamente, si n es divisble por 10+p, también lo es el número (y viceversa): n∗∗=(−p)ma0+⋯+(−p)am−1+am En este caso se debe aplicar la identidad: am+bm=(a+b)(am−1−am−2b+am−3b2−am−4b3⋯±bm−1) Para diferentes valores de p se obtienen varios criterios de divisibilidad.
Divisibilidad por 9:10-p=10-1=9
n∗=a0+⋯+am−1+am La suma de las cifras ha de ser un múltiplo de 9.
Divisibilidad por 11:;10+p=10+1=11 n∗∗=(−1)ma0+⋯−am−1+am La diferencia entre la suma de las cifras pares y la suma de las cifras impares es un múltiplo de 11.
Divisibilidad por 7:10-p=10-3=7 n∗=3ma0+⋯+3am−1+am
Divisibilidad por 13:10+p=10+3=13
Divisibilidad por 13:10+p=10+3=13
n∗∗=(−3)ma0+⋯−3am−1+am La divisibilidad por 7 fue enunciada en el siglo XIII por Benalbana el Granatí. Veamos un ejemplo del criterio de divisibilidad por 7 aplicado de forma iterada al número 1547: [(1⋅3+5)⋅3+4]⋅3+7=91 9⋅3+1=28 2⋅3+8=14 1⋅3+4=7
- Del libro D'Alembert y Condorcet. Ricardo Moreno Castillo. La Matemática en sus personajes 51. Editorial Nivola.