La media aritmética y otras medias (II)

El matemático alemán Otto Hölder propuso una definición generalizada de la media. Esta media depende de un parámetro que para determinados valores dan lugar a las medias conocidas. $$\overline x (k)=\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^k} \right )^{1/k} \rightarrow \overline x (k)=\left [\frac{1}{2}(a^k+b^k) \right ]^{1/k}$$ Se muestra la fórmula para n valores y la que se va a utilizar para dos valores a y b.

• ARITMÉTICA: $$k=1 \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
• CUADRÁTICA: $$k=2 \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$
• ARMÓNICA: $$k=-1 \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
• GEOMÉTRICA: $$k \rightarrow 0 \rightarrow G=\sqrt{ab}$$

Veamos la obtención de la última media: $$\lim_{k \to 0}\left [\frac{1}{2} (a^k+b^k) \right ]^{1/k}=1^\infty$$ Recordando que si: $$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$$ se puede hacer el cambio: $$f(x)=1+h(x) \wedge \lim_{x \to a}h(x)=0$$ $$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \lim_{x \to a}\left [ 1+h(x)\right ]^{\frac{1}{h(x)}h(x)g(x)}=$$ $$\lim_{x \to a}e^{h(x)g(x)}=\lim_{x \to a}e^{(f(x)-1)g(x)}$$ Aplicando el algoritmo a nuestro caso: $$\lim_{k \to 0}\left [ \frac{1}{2}(a^k+b^k) -1\right ]\frac{1}{k}=\frac{0}{0}$$ y aplicando la regla de l'Hôpital: $$\lim_{k \to 0}\frac{1}{2}\frac{(a^kLa+b^kLb)}{1}=\frac{1}{2}(La+Lb)=L(ab)^{1/2}$$ Por tanto, el límite es: $$e^{L(ab)^{1/2}}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}$$