Si triangulamos un pentágono, existen cinco formas diferentes de hacerlo. Si nos fijamos en el número de triángulos que comparten un vértice, podemos asignar ese número a cada uno de ellos. Como las cinco figuras se obtienen por rotación de 72º, sólo existe una secuencia de números.
Vamos a construir una cadena infinita de números de la siguiente manera:
Una primera fila de unos y una segunda fila con la secuencia de los vértices repetida de forma indefinida en la posición de los espacios vacíos de la primera fila. La segunda fila se obtiene aplicando la 'regla del diamante':
Se siguen completando filas hasta llegar a otra vez a una fila de unos. Se observa que hay dos filas entre las filas de unos.
En el caso del hexágono es más complejo pues hay varias formas de triangularlo. Los seis primero tienen una secuencia válida para todos pues basta hace rotaciones de 60º.
Se observa que se necesitan tres filas hasta llegar de nuevo a la fila de unos.
Ahora se hace una triangulación en zig-zag y existen dos secuencias diferentes pero que también necesitan tres filas hasta llegar a la fila de unos.
Por último hay otro tipo de triangulación con sólo dos casos. Como en todo hexágono se necesitan tres filas hasta llegar a la fila de unos.
En los polígonos de 3 y 4 lados observamos que en el triángulo ya se obtienen los unos al introducir la secuencia de vértices y en el caso del cuadrado sólo hay una fila entre las filas de unos.
El número de triangulaciones aumentan según los lados del polígono siguiendo la serie de los números de Catalan: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 .... Vemos que se necesitan 0, 1, 2 y 3 filas para partiendo de una fila de unos llegar a otra fila de unos. La fórmula general es F=N-3, siendo F el número de filas y N el número de lados del polígono.
Por tanto, se puede conseguir con cualquier polígono como demostró el Teorema de Coxeter-Conway. A este tipo de secuencias le llamó Coxeter 'Frieze Patterns'.
