Teorema de Snover (2000)

Dado un triángulo, construimos cuadrados sobre sus lados y unimos los nuevos vértices para definir tres nuevos triángulos, como se muestra en la figura. Entonces, cada uno de estos tres triángulos tienen la misma área que el triángulo inicial.

La solución es geométrica: Se eliminan los cuadrados y posteriormente se gira cada triángulo 90º en el sentido opuesto de las agujas del reloj. Cada triángulo forma con el triángulo original un nuevo triángulo. Pero al ser el lado común de esos dos triángulos una mediana del triángulo completo, tienen la misma base y altura y por tanto la misma área.

• Se puede cambiar la forma del trángulo inicial moviendo sus vértices.
• Siempre se cumple el teorema: mismas áreas.
• Al mover los deslizadores se pueden girar los triángulos hasta 90 grados.
• Se pueden mostrar u ocultar los cuadrados.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
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Selectividad Ciencias Sociales Curso-2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias-Curso 2024-2025

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 24/25.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

La parábola y el producto de dos números

En la figura se muestra una parábola con un punto A en la rama de la derecha y un punto B en la rama de la izquierda. Se unen mediante un segmento que corta al eje de ordenadas en el punto C. El valor de la ordenada en ese punto es el resultado del producto de dos números que son las abscisas, en valor absoluto, de los puntos A y B.

La pendiente de la recta que pasa por A y B es: $$\frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$$ La ecuación de la recta es: $$y-a^2=(a-b)(x-a)$$ El punto de corte con el eje de ordenadas es: $$y-a^2=(a-b)(0-a)=-a^2+ab \rightarrow y(0)=ab$$

• Se pueden mover los puntos A y B para obtener el punto C.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
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Magia con cartas (II)

DESARROLLO

• El mago entrega la baraja de cartas a un espectador y le pide que la baraje. El espectador devuelve la baraja al mago quien mira discretamente la carta que se encuentra en la parte inferior.
• El mago escribe en un papel, sin que nadie vea, la carta que visualizó. Dobla este papel varias veces y pide al espectador que lo guarde en un bolsillo.
• El mago saca doce cartas de la parte superior del mazo, boca abajo, y las coloca sobre una mesa. Luego, el mago pide al espectador que elija, al azar, cuatro de estas cartas y les dé la vuelta dejando sus caras visibles y recuerde cuáles son. Las cartas restantes las recoge el mago y las coloca en la parte inferior del mazo restante.
• El mago explica al espectador que colocará cartas, boca abajo, sobre cada una de las cuatro que eligió. El número de cartas colocadas será igual a la diferencia entre el número 10 y el valor de la carta elegida. Por ejemplo, el mago colocará siete cartas sobre una carta que es un tres, contando en voz alta: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Si se ha elegido una de las figuras (K, Q, J), no se repartirán cartas, ya que, en este truco, las figuras cuentan como diez.
• El mago pide al espectador que sume los valores de las cuatro cartas que eligió inicialmente.
• El mago descarta del mazo restante el número de cartas correspondientes a esta suma, creando un montón sobre la mesa. Muestra la carta que estaba encima de esa pila.
• El mago pide al espectador que saque del bolsillo el papel que le habían entregado al principio y confirme si coincide con la carta que le entregó. ¡Y coinciden!

EXPLICACIÓN

Al recoger las ocho cartas y colocarlas en la parte inferior del mazo coloca la carta que miró el mago en la posición 40. Después de repartir correctamente las cartas y sumar los valores de las cuatro cartas boca arriba, la cuenta recaerá invariablemente en esta carta. ¡La cuenta termina en la novena carta desde el final del mazo!

Si el número de las 4 cartas es:  $$n_1, n_2, n_3, n_4$$

El número de cartas colocadas serán: $$10-n_1+10-n_2+10-n_3+10-n_4=40- (n_1+n_2+n_3+n_4)$$

Al quitar ahora del mazo: $$n_1+n_2+n_3+n_4=40$$

Es decir, la solución es la última carta que ha puesto en el montón, la que está en la posición 40.