Triangulación de polígonos

Si triangulamos un pentágono, existen cinco formas diferentes de hacerlo. Si nos fijamos en el número de triángulos que comparten un vértice, podemos asignar ese número a cada uno de ellos. Como las cinco figuras se obtienen por rotación de 72º, sólo existe una secuencia de números.

Vamos a construir una cadena infinita de números de la siguiente manera:

Una primera fila de unos y una segunda fila con la secuencia de los vértices repetida de forma indefinida en la posición de los espacios vacíos de la primera fila. La segunda fila se obtiene aplicando la 'regla del diamante':

Se siguen completando filas hasta llegar a otra vez a una fila de unos.  Se observa que hay dos filas entre las filas de unos.

En el caso del hexágono es más complejo pues hay varias formas de triangularlo. Los seis primero tienen una secuencia válida para todos pues basta hace rotaciones de 60º.

Se observa que se necesitan tres filas hasta llegar de nuevo a la fila de unos. 

Ahora se hace una triangulación en zig-zag y existen dos secuencias diferentes pero que también necesitan tres filas hasta llegar a la fila de unos.

Por último hay otro tipo de triangulación con sólo dos casos. Como en todo hexágono se necesitan tres filas hasta llegar a la fila de unos.

En los polígonos de 3 y 4 lados observamos que en el triángulo ya se obtienen los unos al introducir la secuencia de vértices y en el caso del cuadrado sólo hay una fila entre las filas de unos.

El número de triangulaciones aumentan según los lados del polígono siguiendo la serie de los números de Catalan: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 .... Vemos que se necesitan 0, 1, 2 y 3 filas para partiendo de una fila de unos llegar a otra fila de unos. La fórmula general es F=N-3, siendo F el número de filas y N el número de lados del polígono. 

Por tanto,  se puede conseguir con cualquier polígono  como  demostró  el Teorema de Coxeter-Conway. A este tipo de secuencias le llamó Coxeter 'Frieze Patterns'.

Magia con cartas (I)

PREPARACIÓN

Previamente y sin el conocimiento de los espectadores, el mago coloca, desde la parte superior de la baraja, y con las caras hacia abajo, nueve cartas según la siguiente secuencia: 7 3 5 4 9 2 A 6 8.

El palo no tiene importancia. Esta secuencia se puede cambiar, sin embargo, se debe asegurar que la suma de los valores de las tres primeras cartas sea igual a 15, así como la suma de los tríos siguientes. El mago también debe introducir el código 1665 en el candado.

DESARROLLO

• El mago pide prestado al público un objeto, un anillo o un llavero, algo que pueda sujetar a su candado. Después de hacerlo, cambia la combinación discretamente. Le entrega el candado a un espectador y le pide que cambie aleatoriamente los números de la combinación. El candado podrá permanecer en posesión de este último espectador hasta el final del truco.
• Luego, el mago solicita la participación de otros tres espectadores. Distribuye las nueve cartas, que están en la parte superior del mazo, entre los tres voluntarios, siempre boca abajo. Las tres primeras cartas se entregan al primer espectador, las tres siguientes al segundo y las restantes al tercero. Cada espectador puede barajar sus tres cartas.
• El mago dice que los tres espectadores le ayudarán a descubrir el código que le permitirá abrir la cerradura y recuperar el objeto prestado. Para ello, el mago tendrá que sumar tres números, de tres dígitos, que serán presentados por los espectadores con ayuda de las cartas que tengan en la mano. Antes de iniciar todo el procedimiento, el mago pide a los voluntarios que decidan, entre ellos, quién proporcionará las centenas, las decenas y las unidades.
• Después el mago se dirige a una pizarra. Le pide al 'espectador de las centenas' que elija una de sus cartas y anuncie su valor. El mago afirma que esta carta debe descartarse. El mago anota el número anunciado en la pizarra y pide al 'espectador de las decenas' y luego al 'espectador de las unidades' que hagan lo mismo. Cada espectador tiene dos cartas en la mano y en el tablero está grabado un número de tres cifras. El mago repite el procedimiento hasta que se queda sin cartas. Los tres números grabados en la pizarra deben estar alineados para que se puedan sumar con el algoritmo de suma habitual.
• El mago suma los tres números. El mago anuncia al público que la suma obtenida (1665) podría ser la combinación del candado y luego pide al espectador, que lo tiene consigo, que introduzca este código. ¡Y  el candado se abre! ¡MAGIA!

EXPLICACIÓN

Consideremos las 9 cartas: $$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2,c_3$$ sabiendo que están preparadas para que: $$a_1+a_2+a_3=15$$ $$b_1+b_2+b_3=15$$ $$c_1+c_2+c_3=15$$

 Al sumar podemos tener la siguiente situación:

Independientemente de las permutaciones de las cartas de cada espectador, la suma obtenida siempre será 1665, ya que el algoritmo de suma utilizado se realiza por columnas.

2025: un año muy matemático

Este año es un cuadrado perfecto: $$2025=45^2$$ El anterior no lo conocimos, fue 1936 y el próximo no lo conceremos, será 2116. Además el año se puede expresar de muchas maneras:

• 2025=34·52 (suma igual de las cifras)
• 2025=272+362 (suma igual de las cifras)
• 2025=13+23+33+43+53+63+73+83+93

Sucesión de Connell

La sucesión de Connell es una sucesión de números naturales construida de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión: $$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, \dots$$ El término general de esta sucesión viene dado por la expresión: $$C_n=2n-\lfloor \frac{1}{2} \sqrt{8n+7}+1\rfloor$$ Para términos, suficientemente avanzados, se cumple: $$\lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_n}{n}=2$$ Las subsucesiones son: $$S_1=\{1\}, S_2=\{2,4\}, S_3=\{5,7,9\}, S_4=\{10,12,14,16\} \dots$$ Los números triangulares (poligonales de orden 3) se obtienen con la fórmula: $$T(n)=P_3(n)=\frac{1}{2}n(n+1) \rightarrow 1, 3, 6, 10, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$C(T_n)=n^2$$ Stevens generalizó la sucesión de Connell, donde el término general es: $$C_{m,r} \wedge m \geq 2 \wedge r \geq 1$$ Se parte del entero 1 que es un número congruente con 1 (mod m); le sigue el entero 1+r congruente con 2 (mod m); luego el entero 1+2r congruente con 3 (mod m) y así sucesivamente. Si m=2 y r=1 (los valores mínimos) se obtiene la sucesión de Connell. De forma más detallada se tiene su definición:

• La sucesión está formada por subsucesiones concatendas S1, S2, S3,...
• La subsucesión S1 está formada por el elemento 1.
• Si la subsucesión Sn termina en el elemento e, la subsucesión Sn+1 empieza en e+1.
• Si la subsucesión Sn contiene t términos, la subsucesión Sn+1 contiene t+r términos.
• Si la sucesión es creciente y la diferencia entre dos términos consecutivos de la misma subsucesión es m.

Sea la sucesión: C3,2: 1;2,5,8;9,12,15,18,21;22,25,28,31,34,37,40,...

Los números octogonales (poligonales de orden 8) se obtienen con la fórmula: $$P_8(n)=n(3n-2) \rightarrow 1, 8, 21, 40, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$P_8(n)=C_{3,2}(n^2)$$ Sea la sucesión: C3,1: 1;2,5;6,9,12;13,16,19,22;23,26,29,32,35...

Los números pentagonales (poligonal de orden 5) se obtienen con la fórmula: $$P_5(n)=\frac{1}{2}n(3n-1) \rightarrow 1, 5, 12, 22, 35...\dots$$ Se observa que los últimos números de cada subsucesión son P5(n).

Hay una fórmula general para los números poligonales: $$P_k(n)=\frac{1}{2}n[(k-2)n-k+4]$$ que se puede comprobar su validez para los casos anteriores y obtener P4(n): $$P_3(n), P_5(n), P_8(n), P_4(n)=n^2$$ . También existe otra fórmula general que relaciona las sucesiones generalizadas de Connell con los número poligonales: $$C_{m,r}[P_{r+2}(n)]=P_{m\cdot r+2}(n)$$ que se puede aplicar a dos casos anteriores: $$C_{2,1}[P_3(n)]=P_4(n) \wedge C_{3,2}[P_4(n)]=P_8(n)$$ Para términos suficientemente avanzados, se cumple: $$\lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_{m,r}(n)}{n}=m$$

Incendio forestal (II)

En el modelo se considera un terreno rectangular de 20X40 puntos en los que se pueden plantar hasta 800 árboles entre pinos (P) y robles (M). Se considera que el fuego no afecta apenas a los robles pero sí a los pinos. El simulador permite elegir el porcentaje de pinos y robles plantados que son situados en el terreno de forma aleatoria. Puede haber varios focos de fuego que se sitúan de manera aleatoria en el terreno. El incendio se propaga en cualquier dirección de forma que un pino ardiendo prende a los pinos cercanos pero no afecta a los robles. En un momento determinado el fuego se detiene al no poder propagarse más.

¡Una reforestación combinada con árboles resistentes al fuego reduce el impacto de un incendio!

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• El botón 'iniciar' limpia de árboles el terreno.
• Las primeras flechas permiten elegir el porcentaje de pinos plantados.
• Las segundas flechas permiten elegir el porcentaje de robles plantados.
• El botón 'plantar' muestra los árboles reales plantados y su porcentaje.
• El botón 'fuego' pone cada vez un punto de inicio del fuego.
• El botón 'incendio' muestra el resultado del incendio, los pinos quemados y su porcentaje.

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