Punto de Vecten (I)

Dado un triángulo se construye un cuadrado exterior sobre cada lado.  Los segmentos que unen los centros de los cuadrados con los vértices opuestos a los lados sobre los que están construidos, se cortan en el 1º punto de Vecten.

Teorema de Ceva

Dado un  triángulo ABC y los puntos D, E y F sobre los lados AB, BC y CA respectivamente, los segme4ntos AD, BF y CD son concurrentes si y sólo si los segmentos determinados sobre los lados cumplen la relación:
$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{EB}{EC} \cdot \frac{FC}{FA}=1$$

El teorema del jurado de Condorcet

Para Condorcet, matemático, filósofo y político francés del siglo XVIII, el objetivo de un buen gobierno es tomar las decisiones que sean mejores para la sociedad. Sea un grupo de n personas que necesitan decidir si una proposición es verdadera o falsa. Por ejemplo, para un jurado si el acusado es culpable o inocente.

Supongamos que cada votante tiene una probabilidad p de acertar la proposición. Se consideran a los votantes competentes si p>0.5. Se desea tomar una decisión por mayoría y que sea correcta. ¿Qué ocurre según sea el valor de p?

$$p > 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es mayor si aumenta el número de votantes. En el límite, cuando n tiende a infinito, la probabilidad de que la decisión sea la correcta tiende a 1. Es mejor tomar la opinión de muchos que de uno. 

¡Cuantos más competentes mejor! 

$$p < 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es menor si aumenta el número de votantes. En el límite tiende a 0. Es mejor tomar la opinión de uno. 

¡Cuantos más incompetentes peor!

La probabilidad de acertar m o más votantes es: $$f(p)=\sum_{k=m}^{n} \binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ Se asume que la competencia o incompetencia de cada votante es la misma. Simplificación que no afecta a las conclusiones. Sin embargo, como la gente intercambia opiniones, la independencia de cada votante es un criterio muy fuerte y no muy realista.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede modificar el número de votantes n y la probabilidad de acertar cada votante p 
• Se puede modificar el porcentaje de votos afirmativos necesarios q para aceptar la propuesta  (para que la mayoría pueda ser cualificada).
• Se muestran la probabilidad de que se acepte la propuesta f(p) en función de p, el número de votantes necesarios para ello m y la gráfica correspondiente.

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El juego de la tarta

Cada jugador debe rellenar su molde circular utilizando tres porciones de tarta. Se van colocando alternativamente y gana el primero que completa la tarta.
La tarta está formada por 15 sectores de 24º cada uno. Las porciones van de 1 sector  hasta 9 sectores. 

Se desplazan los sectores moviendo los puntos centrales y se giran los sectores moviendo los puntos extremos.

Teorema de Stewart

Si en un triángulo ABC se traza una ceviana (segmento que une el vértice A con el lado opuesto BC), el punto de intersección D determina dos segmentos de longitudes m y n. Si d es la longitud de la ceviana y a, b, c las longitudes de los lados del triángulo, se cumple el teorema de Stewart:
$$d^2·a=n·b^2+m·c^2-n·m·a$$
Si d es la longitud de la mediana, entonces se verifica el teorema de Apolonio o teorema de la mediana:
$$b^2+c^2=\frac{a^2}{2}+2·d^2$$