Modelo Friekin-Johnsen

El modelo de Friedkin-Johnsen (FJ) es un marco matemático que explica cómo se forman las opiniones en grupos sociales, destacando que las personas no solo se dejan influir por otros, sino que mantienen una resistencia o ‘terquedad’ basada en sus creencias iniciales. El modelo FJ muestra cómo la resistencia a cambiar de opinión (terquedad) mantiene la polarización y el desacuerdo incluso tras largas interacciones. Se utiliza para diseñar algoritmos que intenten reducir este conflicto social. Para entender el modelo de Friedkin-Johnsen (FJ), imagina que cada persona tiene una opinión inicial (su ‘prejuicio’ o valor innato) que nunca cambia del todo, a pesar de lo que digan los demás. La fórmula de actualización es: $$X_i(t+1)=\lambda_i( \sum_{j=1}^n w_{ij}\cdot X_j(t))+(1-\lambda_i) \cdot S_i$$ $$S_i, \ \lambda_i, \ w_{ij} $$ son tu opinión personal (fija), tu susceptibilidad (cuanto te dejas influir), y la confianza que tienes de la opinión de la persona j. La fórmula siguiente representa la influencia de la red en cada etapa. $$ \sum_{j=1}^n w_{ij}\cdot X_j(t)$$

Supongamos dos agentes A y B con opiniones opuestas sobre un tema concreto: A está muy a favor S1=1 y B está muy rn contra S2=0; suponemos que las susceptibilidades son 0.5, y 0.4 respectivamente. Por último el agente A escucha 0.4 al agente B , en cambio el agente B escucha 0.8 al agente A. Al final las opiniones se acercan, aunque no llegan a un consenso, como se observa en la gráfica.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Puedes modificar la susceptibilidad de cada agente.
• Puedes modificar la confianza o escucha de cada agente.
• Puedes modificar el instante del proceso y observar los valores de cada agente en ese momento.

Descargar .XLS

Teorema del alpinismo

El problema del alpinismo es un problema matemático que considera una cordillera bidimensional (representada como una función continua) y plantea la cuestión de si es posible que dos alpinistas, partiendo desde el nivel del mar en los flancos izquierdo y derecho de la montaña, se encuentren en la cima, manteniendo la misma altitud en todo momento. Se ha demostrado que cuando la cordillera tiene un número finito de picos y valles, siempre es posible coordinar los movimientos de los alpinistas, pero esto no se cumple necesariamente cuando tiene un número infinito de picos y valles.

Este problema fue nombrado y planteado de esta forma por James V. Whittaker (1966), pero su historia se remonta a Tatsuo Homma (1952), quien resolvió una versión del mismo.

Sea una cordillera con tres picos y dos valles. Se trazan líneas horizontales por cada pico o valle. Cada escalador parte desde el mar en las posiciones 0. El escalador rojo se mueve por la parte izquierda en el intervalo [0,1] y el escaldor azul se mueve por la parte derecha en el intervalo [1,0].

.Así el rojo  está en la posición 2/7 y el verde en la posición 6/7. Al estar el rojo en un pico, el azul puede estar en alguna de las tres posiciones. Los estados vienen dados por el par formado por las posiciones de los escaladores; así la posición de la figura es (2/7,6/7), pero podrían ser los estados (2/7,4/7) y (2/7,2/7). Si el azul baja al valle, el rojo tiene dos opciones como se muestra con trazo grueso.

El ascenso correcto es: el escalador rojo sube al  pico (1), luego baja al valle (2), el escalador azul sube al pico (3), luego baja al valle (4) y finalmente ambos, llegan a la cumbre (5).

¿Por qué esa es la ruta correcta?

Para ello establecemos un grafo donde los vértices son los estados posibles y las aristas conectan el paso de un estado a otro. Entonces el camino (línea discontinua) que va desde el vértice de salida (0,0) y termina en el vértice de llegada (1,1) es la ruta correcta. Con trazo rojo se muestran las alternativas del vértice rojo de la figura anterior. Además  hay dos estados por los que no se pasa (línea continua).

Las decisiones a tomar según la posición en que se encuentren los escaladores pueden ser:

• En el vértice (0, 0), el grado es uno: la única dirección posible para ambos escaladores es hacia la montaña. De manera similar, en el  vértice (1, 1)  el grado es uno, ya que ambos escaladores solo pueden regresar montaña abajo.
• En un vértice donde un escalador se encuentra en una cima o un valle y el otro no, el grado es dos: el escalador en la cima o el valle tiene dos opciones sobre qué camino tomar, y el otro escalador solo puede ir por un camino.
• En un vértice donde ambos escaladores se encuentran en una cima o en un valle, el grado es cuatro: ambos escaladores pueden elegir independientemente el uno del otro en qué dirección ir.
• En un vértice donde un escalador se encuentra en una cima y el otro en un valle, el grado es cero: dichas posiciones son inalcanzables. (es decir, si existe tal vértice, entonces el grafo no es conexo).
• Según el 'lema del apretón de manos': la suma de los grados de todos los vértices de un grafo conexo es siempre un número par, lo que significa que el número de personas que saludan un número impar de veces debe ser par (hay un número par de vértices de grado impar).
• Dado que los únicos vértices de grado impar son (0,0) y (1,1), estos dos vértices deben pertenecer a la misma componente conexa. Es decir, el grafo debe contener un camino desde (0,0) hasta (1,1). Este camino indica cómo coordinar el movimiento de los escaladores hacia la cima.

El problema de la mochila (II)

Aplicamos un algoritmo genético para introducir en la mochila el mayor número de objetos que maximicen el beneficio pero sin superar la restricción de peso de la misma. En la tabla se muestra el problema a resolver: 4 objetos con diferentes utilidades y pesos.

La función objetivo Z no puede contener los 4 objetos pues rebasaría la restricción del peso que no puede superar el valor 15.

$$Z=4x_1+5x_2+6x_3+3x_4$$

$$P=7x_1+6x_2+8x_3+2x_4 \leq 15$$

Un cromosoma está formado por genes que son variables binarias. Cada cromosoma estará formado por una cadena de 4 bits. Si la suma de pesos de un cromosoma rebasa el peso máximo permitido 15, no se considera.

En la Tabla se muestran 4 cromosomas aleatorios de los cuales se tienen que obtener dos padres. La penúltima columna de probabilidad se obtiene dividiendo cada peso entre el total, y en la última columna la probabilidad acumulada.

• Selección:
Para obtener un padre debemos seleccionar uno de los 4 cromosomas. Se genera un número aleatorio (0.477) que supera a la probabilidad acumulada 0.2973; así el Padre 1 será el cromosoma 2: 1 0 1 0.
Se genera otro número aleatorio (0.934) que supera a la probabilidad acumulada 0.7027; así el Padre 2 será el cromosoma 4: 0 1 1 0.
.
• Cruzamiento:
Se asigna una probabilidad de cruzamiento entre dos genes de 0.98.  Se genera un número aleatorio 0.735<0.98 y entonces hay cruzamiento. Como hay 4 genes hay tres puntos de corte entre genes. Se genera otro número aleatorio (0.492). Como 1/3<0.492<2/3, el punto de corte está entre el gen 2 y el gen 3 (línea discontinua). Entonces se intercambian los genes 3 y 4.

• Mutación:
Se genera un número aleatorio para cada gen para ver si hay o no mutación. La habrá si es menor que el valor asignado 0.1. Los genes en rojo se han cambiado. Como el segundo cromosoma rebasa la restricción se elimina. Por tanto, hasta el momento, sólo hemos obtenido un hijo.

Repetimos el proceso, manteniendo la tabla inicial, para obtener nuevos hijos.

• Selección:
Para obtener un padre debemos seleccionar uno de los 4 cromosomas. Se genera un número aleatorio (0.802) que supera a la probabilidad acumulada 0.7027; así el Padre 1 será el cromosoma 4: 0 1 1 0.
Se genera otro número aleatorio (0.266) que no supera a la probabilidad acumulada 0.2973; así el Padre 2 será el cromosoma 1: 0 1 1 0.
.
• Cruzamiento:
Se asigna una probabilidad de cruzamiento entre dos genes de 0.98. Se genera un número aleatorio 0.174<0.98 y entonces hay cruzamiento. Como hay 4 genes hay tres puntos de corte entre genes. Se genera otro número aleatorio (0.740). Como 2/3<0.7401, el punto de corte está entre el gen 3 y el gen 4 (línea discontinua). Entonces se intercambia el gen 4.

• Mutación:
Se genera un número aleatorio para cada gen para ver si hay o no mutación. La habrá si es menor que el valor asignado 0.1. Los genes en rojo se han cambiado. Como el primer cromosoma rebasa la restricción se elimina. Por tanto sólo hemos obtenido un segundo hijo.

Volvemos a repetir el proceso para conseguir los dos hijos que faltan.

• Selección:
Para obtener un padre debemos seleccionar uno de los 4 cromosomas. Se genera un número aleatorio (0.658) que supera a la probabilidad acumulada 0.5676; así el Padre 1 será el cromosoma 3: 0 1 0 0.
Se genera otro número aleatorio (0.258) que no supera a la probabilidad acumulada 0.2973; así el Padre 2 será el cromosoma 1: 0 1 1 0.
.
• Cruzamiento:
Se asigna una probabilidad de cruzamiento entre dos genes de 0.98. Se genera un número aleatorio 0.989>0.98 y entonces no hay cruzamiento. 

• Mutación:
Se genera un número aleatorio para cada gen para ver si hay o no mutación. La habrá si es menor que el valor asignado 0.1. El gen en rojo se ha cambiado. Como los dos cromosoma cumplen la restricción se aceptan. Por tanto ya tenemos los 4 hijos.

Termina la primera iteración y vamos a iniciar la segunda iteración con estos 4 hijos. Para ello tomamos estos 4 hijos como cromosomas iniciales y construimos una nueva tabla.

Si suponemos que esta tabla es la obtenida después de varias iteraciones podemos considerar que representa los resultados finales donde los objetos a considerar para la mochila son el 2 y el 3 con una utilidad máxima de 11 y un peso de 14.

El problema de la mochila (I)

El problema de la mochila (knapsack problem) es el siguiente problema de optimización combinatoria:

  Dado un conjunto de elementos, cada uno con un peso y un valor, determinar qué elementos incluir en la colección para que el peso total sea menor o igual a un límite dado y el valor total sea el mayor posible.

El problema más sencillo (0-1 knapsack problem) es aquel en el que se restringe el número de copias de cada item a cero o uno.

Si n es el número de items numerados de 1 a n, cada uno con un peso wi y un valor vi, con una capacidad máxima de peso W, se trata de maximizar:

$$\sum_{i=1}^n v_ix_i$$

con la restricción:

$$\sum_{i=1}^n w_ix_i \leq W \hspace{0.2 cm} si \hspace{0.2 cm} x_i\in \{ 0,1 \}$$

El problema de la mochila acotada (BKP) elimina la restricción de que solo exista un ejemplar de cada artículo, pero restringe el número xi de copias de cada tipo de artículo a un valor entero máximo no negativo c. Por tanto la restricción es:

$$\sum_{i=1}^n w_ix_i \leq W \hspace{0.2 cm} si \hspace{0.2 cm} x_i\in \{ 0,1 \dots c\}$$

El problema de la mochila ilimitada (UKP) no impone un límite superior al número de copias de cada tipo de artículo y  la única restricción de xi es que sea un número entero no negativo:

$$\sum_{i=1}^n w_ix_i \leq W \hspace{0.2 cm} si \hspace{0.2 cm} x_i\in N$$

Vamos a resolver un ejemplo mediante programación dinámica:

Sean 5 objetos con los valores vi y pesos wi que se muestran en la Figura. Los pesos posibles en la mochila van desde 0 al máximo permitido de W=8 .

 Se establece una matriz M[i,j] donde cada elemento indica el beneficio máximo de llevar una mochila de peso j con objetos desde x1 hasta xi.

La primera fila de ceros corresponde  a no meter ningún objeto en la mochila y la primera columna de ceros indica mochila de tamaño cero que no admite ningún objeto.

Analicemos el funcionamiento observando las celdas coloreadas.  La matriz se va completando de izquierda a derecha y de arriba a abajo. Si estamos en la celda M[3,5]=7, retrocedemos 4 posiciones hasta la celda M[2,0]=0 ya que w3=4; ahora hacemos el cálculo siguiente:

$$M[3,1]+v_3=0+10=10>M[3,5]=7 \rightarrow M[4,5]=10$$

La celda M[5,5] también  vale 10 porque una mochila de peso máximo 4 no admite un objeto de peso 5.

La celda M[6,8] repite el valor 16 pues el valor que se obtiene (15) es menor que el de su celda superior.

El valor más alto de la última columna (19) indica el valor máximo.

Vamos a obtener los objetos con los que se consigue el valor máximo:

Al ser M[6,9]=M[5,9] el objeto W5=7 no se pone en la mochila. Como M[5,9]>M[4,9] el objeto w4=5 se pone en la mochila.

Retrocedemos 5 posiciones a  M[4,4] y siguiendo el mismo razonamiento no ponemos el objeto w3=4 y si ponemos el objeto w2=3. Continuando el proceso se llega a M[2,1]=0 y finaliza rl proceso.

Se han colocado en la mochila el objeto w2=3, v2=5 y el objeto w4=5, v4=14.

Sucesión de Connell

La sucesión de Connell es una sucesión de números naturales construida de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión: $$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, \dots$$ El término general de esta sucesión viene dado por la expresión: $$C_n=2n-\lfloor \frac{1}{2} \sqrt{8n+7}+1\rfloor$$ Para términos, suficientemente avanzados, se cumple: $$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_n}{n}=2$$ Las subsucesiones son: $$ S_1=\{1\}, S_2=\{2,4\}, S_3=\{5,7,9\}, S_4=\{10,12,14,16\} \dots$$ Los números triangulares (poligonales de orden 3) se obtienen con la fórmula: $$T(n)=P_3(n)=\frac{1}{2}n(n+1) \rightarrow 1, 3, 6, 10, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$C(T_n)=n^2$$ Stevens generalizó la sucesión de Connell, donde el término general es: $$C_{m,r} \wedge m \geq 2 \wedge r \geq 1$$ Se parte del entero 1 que es un número congruente con 1 (mod m); le sigue el entero 1+r congruente con 2 (mod m); luego el entero 1+2r congruente con 3 (mod m) y así sucesivamente. Si m=2 y r=1 (los valores mínimos) se obtiene la sucesión de Connell. De forma más detallada se tiene su definición:

• La sucesión está formada por subsucesiones concatendas S1, S2, S3,...
• La subsucesión S1 está formada por el elemento 1.
• Si la subsucesión Sn termina en el elemento e, la subsucesión Sn+1 empieza en e+1.
• Si la subsucesión Sn contiene t términos, la subsucesión Sn+1 contiene t+r términos.
• Si la sucesión es creciente y la diferencia entre dos términos consecutivos de la misma subsucesión es m.

Sea la sucesión: C3,2: 1;2,5,8;9,12,15,18,21;22,25,28,31,34,37,40,...

Los números octogonales (poligonales de orden 8) se obtienen con la fórmula: $$P_8(n)=n(3n-2) \rightarrow 1, 8, 21, 40, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$P_8(n)=C_{3,2}(n^2)$$ Sea la sucesión: C3,1: 1;2,5;6,9,12;13,16,19,22;23,26,29,32,35...

Los números pentagonales (poligonal de orden 5) se obtienen con la fórmula: $$P_5(n)=\frac{1}{2}n(3n-1) \rightarrow 1, 5, 12, 22, 35...\dots$$ Se observa que los últimos números de cada subsucesión son P5(n).

Hay una fórmula general para los números poligonales: $$P_k(n)=\frac{1}{2}n[(k-2)n-k+4]$$ que se puede comprobar su validez para los casos anteriores y obtener P4(n): $$P_3(n), P_5(n), P_8(n), P_4(n)=n^2$$. También existe otra fórmula general que relaciona las sucesiones generalizadas de Connell con los número poligonales: $$C_{m,r}[P_{r+2}(n)]=P_{m\cdot r+2}(n)$$ que se puede aplicar a dos casos anteriores: $$C_{2,1}[P_3(n)]=P_4(n) \wedge C_{3,2}[P_4(n)]=P_8(n)$$ Para términos suficientemente avanzados, se cumple: $$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_{m,r}(n)}{n}=m$$

Dados no transitivos (III)

Se pueden construir dados no transitivos utilizando los sólidos platónicos. El hexaedro o cubo está representado por el 'Efron Dice'. Para el tetraedro se tiene el 'Tiggermann Dice' que se muestra en la figura.

Se puede extender el 'Tiggermann Dice' para el tetraedro al octaedro, simplemente repitiendo los valores de las caras: $$1,1,4,4,4,4,4,4$$ $$3,3,3,3,3,3,6,6$$ $$2,2,2,2,5,5,5,5$$ Nicholas Pasciuto propone otra numeración de las caras y le llama 'Nichlman Dice' formado por las primeras letras de su nombre y las últimas del apellido de su mentor el Dr. Ward Heilman.

Para el dodecaedro existen varios conjuntos de dados. Uno de ellos es ampliar para cuatro caras más 'Timmermann Dice'. Otra opción es el conjunto de dados 'Schward Dice'

$$0,0,0,0,0,16,16,17,17,17,17,17$$ $$5,5,5,5,14,14,14,14,18,18,18,18$$ $$6,6,6,12,12,12,19,1,9,19,19,19,19$$ $$3,3,11,11,11,11,11,20,20,20,20,20$$ $$15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15$$ 

Michael Winkleman inventó un nuevo conjunto no transitivo de sólo tres dados que llamó 'Miwin's Dodecahedral Dice'.

Finalmente para el icosadero se puede expandir el 'Timmermann Dice'. Otra posibilidad, no reversible con dos dados, es el conjunto 'Pascanell Dice'.

Dados no transitivos (I)

Sean tres dados: rojo, verde y azul con sus caras numeradas como se muestra en la imagen.

Si el primer jugador elige el dado verde, entonces, si el segundo jugador elige el dado rojo tiene una mayor probabilidad de ganar. Observando el diagrama de árbol:

$$p(R>V)=p(3)·p(2)+p(6)=\frac{5}{6}·\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$$ Análogamente el dado verde 'gana' al azul y el dado azul 'gana' al rojo: $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{7}{12}$$ $$p(A>R)=p(4)·p(3)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$

Se forma un ciclo que se visualiza en el grafo dirigido de la imagen y por tanto no se cumple la propiedad transitiva. Por lo tanto, siempre que tu oponente elija primero, siempre podrás elegir un dado con más posibilidades de ganar, con una probabilidad promedio de ganar de alrededor del 62%, aunque te gustaría que eligiera el dado rojo.
Tim Rowett presentó este juego de dados no transitivos en el Gathering for Gardner V (2002). Es una fundación educativa sin ánimo de lucro para mantener el legado del divulgador matemático Martin Gardner (1914-2010).

Si se lanzan dos dados del mismo color entonces el ciclo se invierte. Los dados verdes 'ganan' a los dados rojos: $$ p(VV>RR)=p(7)·p(6)+p(10)·p(6)+p(10)·p(9)=$$ $$\frac{18}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{10}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados verdes pueden sumar 4,7,10 y los dados rojos pueden sumar 6,9,12.

En el diagrama de árbol se muestra como ganan los dados verdes a los dados rojos y el grafo dirigido visualiza un ciclo de sentido inverso.

Los dados azules 'ganan' a los dados verdes: $$ p(AA>VV)=p(5)·p(4)+p(8)·p(4)+p(8)·p(7)=$$ $$\frac{10}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{18}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados azules pueden sumar 2,5,8 y los dados verdes pueden sumar 4,7,10.

Los dados rojos 'ganan' a los dados azules: $$ p(RR>AA)=p(6)·p(2)+p(6)·p(5)+p(9)+p(12)=$$ $$\frac{25}{36}·\frac{1}{36}+\frac{25}{36}·\frac{10}{36}+\frac{10}+\frac{1}{36}=\frac{671}{1296}$$ teniendo en cuenta que los dados rojos pueden sumar 6,9,12 y los dados azules pueden sumar 2,5,8. La probabilidad media de ganar con dos dados es alrededor del 57% y la probabilidad de que los dados rojos ganen a los dados azules es muy ajustada.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede jugar contra el ordenador eligiendo el número de partidas y en cada tirada cualquiera de los tres colores con los botones de la izquierda.
• Se muestran los resultados acumulados después de cada tirada así como la gráfica correspondiente.
• Se puede jugar contra el ordenador eligiendo series de jugadas del tamaño deseado y siempre con un color determinado con los botones de la derecha.
• Se muestran los resultados acumulados después de cada serie así como la gráfica correspondiente.

Descargar .XLS

Modelos de urnas

Un modelo de urnas se construye a partir de un conjunto de urnas que contengan bolas de diferentes colores. Luego se establecen unas reglas que fijan el procedimiento de añadir o retirar bolas de las urnas en función del color de la bola extraída.  Dentro de los modelos de urnas tienen una importancia especial los llamados "Modelos por Contagio", esto es, modelos donde la ocurrencia de un suceso tiene efecto de cambiar la probabilidad de las posteriores ocurrencias de ese mismo suceso. 

Una urna contiene N bolas, a rojas y b verdes; se extrae al azar una bola, se reemplaza y se añaden c bolas del mismo color y d bolas del color contrario. Se hace una nueva extracción aleatoria de la urna (que ahora contiene a+b+c+d bolas) y se repite el procedimiento sucesivamente. 

Modelo directo:

Cuando se fija el número n de repeticiones del experimento y se conoce como el  Modelo de Bernard Frieman que lo propuso en 1947. Viene definido por los siguientes parámetros:

$$(a,b,c,d,n)$$

El Modelo de Pólya es un caso particular del modelo anterior cuando el parámetro d=0, y viene definido por los parámetros:

$$(a,b,c,0,n)$$

La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es:

$$p(r_1)=\frac{a}{N}$$

La probabilidad de que las dos primera bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}$$

 La }de que las tres primera bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2,r_3)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\frac{a+2c}{N+2c}$$

 La probabilidad de que las k primeras bolas extraídas sean rojas es:

$$p(r_1,r_2,\dots r_k)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\dots\frac{a+(k-1)c}{N+(k-1)c}=\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}$$

que es la forma simbólica y abreviada de expresar el productorio.

Si además se quiere que en las  restantes extracciones las bolas sean verdes:

$$p(r_1,r_2,\dots r_k,v_{k+1},v_{k+2}\dots v_n)=$$

$$\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}\frac{N-a}{N+kc}\frac{N-a+c}{N+(k+1)c}\dots \frac{N-a+(n-k-1)c}{N+(n-1)c}=$$

$$\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$

Como esta probabilidad no depende del orden en que aparecen las k bolas rojas y las n-k bolas verdes, la fórmula final será:

$$\binom{n}{k}\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$

Dependiendo del valor del parámetro c se tiene:

• Si c>0 el éxito y el fracaso son contagiosos, en el sentido de que un éxito o un fracaso aumenta la probabilidad de un futuro éxito o fracaso, respectivamente.
• Si c=0 los sucesos son independientes y no se alteran las condiciones iniciales.
• Si c<0 el éxito disminuye la probabilidad de un nuevo éxito  y el fracaso disminuye la probabilidad de un nuevo fracaso.

Las distribuciones de probabilidad que obtienen según los valores del parámetro c son:

• Si c=-1: Distribución hipergeométrica.
• Si c=0: Distribución binomial.
• Si c=1: Distribución hipergeométrica negativa.
• Si c=a=N-a: Distribución uniforme discreta.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir elegir el número de bolas negras 'N' y bolas rojas 'R' iniciales.
• Se pueden modificar los parámetros 'a' y 'b' de bolas de cada color que se añaden en cada iteración.
• Se puede fijar el número de iteraciones 'k'.
• Se muestran los valores y la gráfica de las sucesivas iteraciones. 
• Se muestran el número de bolas negras y rojas finales y su proporción.

Descargar .XLS