lunes, 18 de abril de 2022

En el espíritu de Wasan (I)

Hay una palabra, wasan, que utilizan los japoneses para referirse  a sus matemáticas frente a yosan o matemáticas occidentales. Aunque el wasan se debe a varios matemáticos japoneses, los iniciadores son Kambei Mori (principio siglo 17) y Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672). Veamos un ejemplo sencillo que utiliza el teorema de Pitágoras.

Los centros A y B de dos círcunferencias iguales están en la circunferencia de la otra. Construir una circunferencia tangente a la recta AB, a la circunferencia de centro A interiormente y a la circunferencia de centro B exteriormente.

Llamamos AB=a, AF=x y GF=r (el radio de la circunferencia buscada). En el triángulo BFG, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

$$(a+r)^2=r^2+(a+x)^2$$

y , de forma análoga, en el triángulo AFG se cumple:

$$ (a-r)^2=r^2+x^2$$

Simplificando ambas ecuaciones y restando se obtiene:

$$4ar=a^2+2ax \rightarrow x+ a/2=2r$$

Significa que el lado EF del cuadrado ACDE, siendo C el punto medio del segmento AB, es un diámetro de la circunferencia buscada. Por tanto es fácil su construcción.

  • Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

lunes, 28 de febrero de 2022

Método de Lill

El ingeniero y oficial del ejército austríaco Eduard Lill (1830-1900) ideó en matemáticas un procedimiento gráfico para determinar las raíces reales de un polinomio, que en esencia es una representación gráfica del algoritmo de Horner. Publicó su invento en 1867 en la revista francesa 'Nouvelles Annales de Mathématiques', y Charles Hermite proporcionó una descripción del mismo para el 'Compes rendus' del mismo año. Más tarde se conoció como el método de Lill.

El método de Lill implica expresar los coeficientes de un polinomio como magnitudes de una secuencia de segmentos en ángulos rectos entre sí. Encontrar las raíces se convierte en la realización de un problema geométrico. Vamos a explicarlo con el siguiente polinomio:

$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3$$

Siempre se puede hacer que el coeficiente de la potencia más alta sea la unidad, basta dividir todo el polinomio por ese valor. Se construye un primer segmento AB=1 y a continuación se construyen los segmentos perpendiculares correspondientes a los demás coeficientes del polinomio de la siguiente forma:

Hacia arriba BD=5, hacia la izquierda DF=7 y hacia abajo FH=3 porque todos los coeficientes son positivos. Cuando son negativos,  se construyen en el sentido contrario a partir del extremo B. Se traza un segmento AC con el extremo en un punto cualquiera del segmento BD. Se traza el segmento CE perpendicular a AC y el segmento EG perpendicular a CE.

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x$$

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x \rightarrow CD=5-(-x)=5+x$$

$$tg (\alpha)=\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{5+x}=-x \rightarrow DE=-x(5+x) \rightarrow EF=7+x(5+x)$$

$$tg (\alpha)=\frac{FG}{EF}=\frac{FG}{7+x(5+x)}=-x \rightarrow FG=-x(7+x(5+x)) \rightarrow $$

$$GH=3+x(7+x(5+x))=3+x(7+5x+x^2)=3+7x+5x^2+x^3$$

Es decir, obtenemos el polinomio pero expresado según el algoritmo de Horner.
Si se divide el polinomio por x+2, se tiene:

$$\frac{1x^3+5x^2+7x+3}{x+2}=1x^2+3x+1+\frac{1}{x+2}$$

Si se observa la figura que AB=1, CD=3 y EF=1 coinciden con los coeficientes del polinomio cociente; GH=1 es el resto de la división y BC=2 es término independiente del divisor. Para obtener una raíz debemos situar el punto C de forma que la construcción de segmentos perpediculares finalice en el punto H. No hay resto y la división es exacta.
$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3=(x+1)^2(x+2)$$
El polinomio tiene tres raíces (una de ellas doble) y se pueden obtener gráficamente.

  • Moviendo el punto azul se obtienen dos raíces diferentes.
  • Se puede ver o no la obtención de la otra raíz doble.
  • Moviendo el punto rojo se obtiene la segunda raíz doble.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
Desarrollando las potencias siguientes se observa que los coeficientes de los polinomios son los números combinatorios correspondientes al triángulo de Pascal.
$$(x+1)^0=1$$
$$(x+1)^2=1x^2+2x+1$$
$$(x+1)^3=1x^3+3x^2+3x^1+1$$
$$(x+1)^4=1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$
$$(x+1)^5=1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$
Podemos obtener, de forma gráfica e iterativa, la solución de cada polinomio y mostrando los segmentos cuyos tamaños son los diferentes números combinatorios.

  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

viernes, 21 de enero de 2022

Períodos de Pisano

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano es conocido como Fibonacci, hijo de Bonacci, que era el apodo de su padre. De ahí el nombre de Períodos de Pisano a los obtenidos de la sucesión de Fibonacci.
La operación módulo da el resto de una división entera: $$14 \mod 3 =2$$ donde 2 es el resto de dividir 14 entre 3.

Para la sucesión de Fibonacci: $$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181...$$ la sucesión de restos, es siempre periódica: $$F_i \mod n$$
  • restos modulo 2: $$0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1...$$
  • restos modulo 3: $$0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1...$$
  • restos modulo 4: $$0,1,1,2,3,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,2,3,1...$$
  • restos modulo 5: $$0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2...$$
  • restos modulo 6: $$0,1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1...$$
  • restos modulo 7: $$0,1,1,2,3,5,1,6,1,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,5,1...$$
  • restos modulo 8: $$0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1...$$
  • restos modulo 9: $$0,1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1...$$
El período en función del divisor n se indica: $$\pi(n)$$ $$\pi(2)=3, \pi(3)=8,\pi(4)=6,\pi(5)=20$$ $$\pi(6)=24, \pi(7)=16, \pi(8)=12, \pi(9)=24$$ Conforme aumenta el valor del divisor, en general, tiende a aumentar el período. Salvo el caso de n=3 todos los períodos son un número par. Si dos números,m y n, son coprimos: $$\pi(m\cdot n)=\pi(m)\cdot\pi(n)\rightarrow \pi(3)\cdot\pi(4)=8\cdot 6=24=\pi(12)$$
Para las potencias de 2:
$$\pi(n)=\frac{3n}{2}\rightarrow \pi(2)=3, \pi(4)=6, \pi(8)=12$$
Para las potencias de 5:
$$\pi(n)=4n\rightarrow \pi(5)=20$$
Considerando la sucesión de restos módulo 3, dibujamos en un circulo tres puntos equdiastantes correspondientes a los tres restos posibles. Siguiendo la sucesión, se une con un segmento cada punto de un término con el punto del término siguiente (en el caso de coincidir dos términos consecutivos no se traza ningún segmento). En la imagen se muestra como se completa la figura.
En la imagen se muestran las figuras obtenidas para las sucesiones de módulo 2, 3,4,5,6,7,8 y 9.
Nos fijamos en el número de ceros que tiene cada ciclo: 2(1), 3(2), 4(1), 5(4), 6(2), 7(2), 8(2) y 9(2). Si tiene 1 cero hay asimetría, si tiene 4 ceros tiene simetría y si tiene 2 ceros puede o no tener simetría.
En el caso de módulo 10, el periodo es: $$\pi(10)=\pi(2)\cdot\pi(5)=3\cdot 20=60$$ y el ciclo tiene 4 ceros y por tanto la figura es es simétrica.

  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
Si nos fijamos en los términos de la sucesión de Fibonacci: ...8, 13, 21, 34, 55, 89,... las figuras obtenidas de los restos módulo 8, 21, 55 son idénticas y lo mismo ocurre con las figuras de los restos módulo 13, 34, 89.