Dados no transitivos (III)

Se pueden construir dados no transitivos utilizando los sólidos platónicos. El hexaedro o cubo está representado por el 'Efron Dice'. Para el tetraedro se tiene el 'Tiggermann Dice' que se muestra en la figura.

Se puede extender el 'Tiggermann Dice' para el tetraedro al octaedro, simplemente repitiendo los valores de las caras: $$1,1,4,4,4,4,4,4$$ $$3,3,3,3,3,3,6,6$$ $$2,2,2,2,5,5,5,5$$ Nicholas Pasciuto propone otra numeración de las caras y le llama 'Nichlman Dice' formado por las primeras letras de su nombre y las últimas del apellido de su mentor el Dr. Ward Heilman.

Para el dodecaedro existen varios conjuntos de dados. Uno de ellos es ampliar para cuatro caras más 'Timmermann Dice'. Otra opción es el conjunto de dados 'Schward Dice'

$$0,0,0,0,0,16,16,17,17,17,17,17$$ $$5,5,5,5,14,14,14,14,18,18,18,18$$ $$6,6,6,12,12,12,19,1,9,19,19,19,19$$ $$3,3,11,11,11,11,11,20,20,20,20,20$$ $$15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15$$ 

Michael Winkleman inventó un nuevo conjunto no transitivo de sólo tres dados que llamó 'Miwin's Dodecahedral Dice'.

Finalmente para el icosadero se puede expandir el 'Timmermann Dice'. Otra posibilidad, no reversible con dos dados, es el conjunto 'Pascanell Dice'.

Teorema de Mickey Mouse

Sean los círculos (A) y (B) tangentes exteriores al círculo (C) con los puntos de tangencia F y G, respectivamente. Sean D y E los puntos de tangencia de la recta tangente a ambos círculos, repsectivamente. Si la recta que pasa por D y F se corta con la recta que pasa por E y G en el punto E, entonces ese punto pertenece al círculo (C) y la recta tangente en ese punto es paralela a la recta que pasa por D y E.

DEMOSTRACIÓN

Para la demostración sólo se necesitan los círculos de centros A y C. La prolongación del segmento DF corta al círculo de centro C en el punto H. Los triángulos ADF y CFH son isósceles porque dos de sus lados son radios de los círculos respectivos. Como los ángulos AFD y CFH son iguales, al ser opuestos por el vértice, también son iguales a los ángulos ADF y CHF. Por tanto AD es paralelo a CH, y ya que AD es perpendicular a la tangente al círculo (A) en D, también es verdad para CH. Pero CH es también perpendicular a la tangente al círculo (C) en H. Por tanto ambas tangentes son paralelas.

Podemos decir que H se encuentra en la perpendicular a la tangente en D a través de (C). Dado que originalmente (A) y (B) comparten esa tangente DE, EG necesariamente pasa por H, de modo que las prolongaciones de CA y DB se encuentran en el círculo (C).

De la prueba anterior queda claro que la presencia de dos 'orejas' de Mickey Mouse en el teorema, aunque divertida, no es esencial. El resultado básico solo trata con un círculo (O1), mientras que la afirmación sigue siendo válida para cualquier número de círculos (O2), (O3),…, simultáneamente tangentes a (O) y a una tangente seleccionada a (O1).

Se puede modificar el tamaño y la posición del círculo grande moviendo los puntos C e I.

Se puede cambiar el tamaño de los círculos pequeños moviendo los puntos A y B.

Se pueden desplazar los círculos tangentes sobre el círculo grande moviendo los puntos F y G.

Se puede ver a Mickey Mouse pulsando en el botón.

Dados no transitivos (II)

La idea de los dados no transitivos existe desde principios de la década de 1970. Aquí hay otro famoso juego con cuatro dados no transitivos conocido como 'Efron Dice' e inventado por el estadístico estadounidense Brad Efron (1938-).

En la imagen se muestra el diagrama de árbol donde el dado azul gana al dado naranja y el grafo que muestra que el juego no es trasitivo.

$$p(R>V)=p(3)·p(2)=1·\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(6)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(A>N)=p(1)·p(0)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(N>R)=p(4)=\frac{2}{3}$$

Vemos que dado rojo gana al verde, el verde al azul, el azul al naranja y el naranja al rojo y todos con las misma probabilidad 2/3. Si nos fijamos en los dados opuestos en el grafo, se puede comprobar que el dado verde gana al dado naranja con probabilidad 5/9 pero los dados rojo y azul tienen la misma probabilidad de ganar. Se dice que el exitoso inversor estadounidense Warren Buffett es fanático de dados no transitivos. Cuando desafió a su amigo Bill Gates con un juego de dados Efron, Bill comenzó a sospechar e insistió para que Warren eligiera primero.

Otro conjunto de cinco dados no transitivos conocido como 'Grime dice' fue creado por el matemático James Grime (1980-) que colabora en la plataforma de videos de divulgación matemática Numberphile .

$$p(R>V)=p(2)·p(1)+p(7)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(1)·p(0)+p(6)=\frac{1}{3}·\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{13}{18}$$ $$p(A>N)=p(5)·p(4)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$ $$p(N>M)=p(4)·p(3)+p(9)=\frac{5}{6}·\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{13}{18}$$ $$p(M>R)=p(3)·p(2)+p(8)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

En la imagen el grafo de la izquierda muestra el ciclo, indicando que el juego no es transitivo, y el grafo de la derecha muestra un ciclo alternativo.

$$p(N>R)=p(R>A)=\frac{7}{12}$$ $$p(A>M)=p(M>V)=p(V>N)=\frac{5}{9}$$ La primera 'cadena' de dados es más fuerte que la segunda. En el primer caso la probabilidad media de ganar es más del 69% mientras en el segundo caso no llega al 57%.
Unos dados curiosos llevan en sus caras los siguientes números: 0, 1, pi, la constante de Euler, la proporción áurea y el conjugado de la proporción áurea.

¿Estos dados forman un conjunto no transitivo? Con dos dados, ¿el orden se invierte como antes?

Selectividad Ciencias-Curso 2022-2023

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 22/23.

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Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2022-2023

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Los cuaterniones de Hamilton

La conceptualización de los números complejos se remonta al siglo XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), quien demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se puede obtener la solución a una ecuación. Hasta ese momento, no se creía posible conseguir la raíz cuadrada de un número negativo. La expresión a+bi para un número complejo fue introducida por René Descartes (1596-1650) y asumida más tarde por Leonhard Euler (1707-1783). Las operaciones de suma y producto de número complejos le dan una estructura de álgebra conmutativa.

Dados no transitivos (I)

Sean tres dados: rojo, verde y azul con sus caras numeradas como se muestra en la imagen.

Si el primer jugador elige el dado verde, entonces, si el segundo jugador elige el dado rojo tiene una mayor probabilidad de ganar. Observando el diagrama de árbol:

$$p(R>V)=p(3)·p(2)+p(6)=\frac{5}{6}·\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$$ Análogamente el dado verde 'gana' al azul y el dado azul 'gana' al rojo: $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{7}{12}$$ $$p(A>R)=p(4)·p(3)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$

Se forma un ciclo que se visualiza en el grafo dirigido de la imagen y por tanto no se cumple la propiedad transitiva. Por lo tanto, siempre que tu oponente elija primero, siempre podrás elegir un dado con más posibilidades de ganar, con una probabilidad promedio de ganar de alrededor del 62%, aunque te gustaría que eligiera el dado rojo.
Tim Rowett presentó este juego de dados no transitivos en el Gathering for Gardner V (2002). Es una fundación educativa sin ánimo de lucro para mantener el legado del divulgador matemático Martin Gardner (1914-2010).

Si se lanzan dos dados del mismo color entonces el ciclo se invierte. Los dados verdes 'ganan' a los dados rojos: $$ p(VV>RR)=p(7)·p(6)+p(10)·p(6)+p(10)·p(9)=$$ $$\frac{18}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{10}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados verdes pueden sumar 4,7,10 y los dados rojos pueden sumar 6,9,12.

En el diagrama de árbol se muestra como ganan los dados verdes a los dados rojos y el grafo dirigido visualiza un ciclo de sentido inverso.

Los dados azules 'ganan' a los dados verdes: $$ p(AA>VV)=p(5)·p(4)+p(8)·p(4)+p(8)·p(7)=$$ $$\frac{10}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{18}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados azules pueden sumar 2,5,8 y los dados verdes pueden sumar 4,7,10.

Los dados rojos 'ganan' a los dados azules: $$ p(RR>AA)=p(6)·p(2)+p(6)·p(5)+p(9)+p(12)=$$ $$\frac{25}{36}·\frac{1}{36}+\frac{25}{36}·\frac{10}{36}+\frac{10}+\frac{1}{36}=\frac{671}{1296}$$ teniendo en cuenta que los dados rojos pueden sumar 6,9,12 y los dados azules pueden sumar 2,5,8. La probabilidad media de ganar con dos dados es alrededor del 57% y la probabilidad de que los dados rojos ganen a los dados azules es muy ajustada.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede jugar contra el ordenador eligiendo el número de partidas y en cada tirada cualquiera de los tres colores con los botones de la izquierda.
• Se muestran los resultados acumulados después de cada tirada así como la gráfica correspondiente.
• Se puede jugar contra el ordenador eligiendo series de jugadas del tamaño deseado y siempre con un color determinado con los botones de la derecha.
• Se muestran los resultados acumulados después de cada serie así como la gráfica correspondiente.

Descargar .XLS

Otras formas de multiplicar

EL MÉTODO EGIPCIO

Es un método por duplicación que sólo necesita saber sumar. Para multiplicar A·B, en una columna se escriben las sucesivas potencias de 2: 1,2,4,8,16,... mientras sean números menores que B. La otra columna se obtiene duplicando los valores a partir de A. Así mediante suma de potencias de 2, siempre se puede obtener el multiplicador B. Se buscan los números correspondientes de la otra columna y sumándolos se obtiene el producto A·B.

En la imagen se muestra un ejemplo, donde se puede ver el criterio a seguir para seleccionar las potencias de 2 necesarias para obtener el producto de A·B.

EL MÉTODO HINDÚ

Este algoritmo, también conocido como de las 'celosías' fue originado en la India y transmitido a China y Arabia llegando a Italia durante los siglos XV y XVI. Se construye una caja rectangular dividida en celdas cuadradas que a su vez están partidas por la mitad, como se observa en la figura. Encima de la caja se sitúan las cifras del multiplicando y a la derecha las del multiplicador.

Se multiplica cada cifra del multiplicando por cada una del multiplicador situando el resultado en la celda cuadrada correspondiente, separando las decenas de las unidades. Se hacen las sumas diagonales que van dando las diferentes cifras del producto, teniendo en cuenta que si una suma es de dos dígitos, las decenas se añade a la suma diagonal siguiente.

EL MÉTODO VÉDICO

La matemática védica de Bhárati Krishná Tirthá es un sistema de cálculo mental desarrollado por Shri Bhárati Krishná Tirtháji a mediados del siglo XX quien dijo haberse basado en el Átharva Vedá, un antiguo texto de los Vedás (los cuatro textos más antiguos de la literatura india). Vamos a analizar la multiplicación con este método.

En la figura los puntos representan cada una de las cifras, correspondiendo los de la primera línea al multiplicando y los de la segunda al multiplicador. Las líneas indican qué cifras son las que hay que multiplicar y sumar para obtener las cifras del producto. Si el resultado es de dos dígitos, la cifra de las decenas se suma a la operación siguiente.

EL MÉTODO JAPONÉS

Aunque se cree que fue inventado por los mayas, recibe este nombre porque lo utilizan los maestros japoneses para enseñar a sus alumnos. En este método se dibujan grupos de líneas verticales que indican las cifras del multiplicando y grupos de líneas horizontales que indican las cifras del multiplicador y se señalan los puntos de intersección, como se muestra en la imagen.

Se forman cuatro grupos de puntos (separados por las líneas discontinuas) y el número en cada grupo indica una de las cifras del producto. Se empieza con las unidades situadas en la parte inferior derecha de la imagen. Si el resultado es de dos dígitos, la cifra de las decenas se suma a la operación siguiente.

Disección de Dudeney (II)

La forma de dividir un triángulo equilátero en cuatro polígonos (2 triángulos y 2 cuadriláteros) para con ellos construir un cuadrado también se conoce como el 'Problema del Mercero" (Haberdasher Problem). En esta nueva entrada se muestra otra forma de obtener la 'Disección de Dudeney':

• Se construye el triángulo equilátero ABC
• Se obtienen los puntos medios D y E de los lados AB y BC.
• Se trazan las rectas perpendiculares al lado AC que pasan por D y E.
• Se obtienen los puntos de intersección F y G sobre el lado AC.
• Se traza el segmento EF.
• Se trazan las perpendiculares desde D y G sobre el segmento EF.
• Se obtienen los puntos de interesección H e I.

Si llamamos a al lado del triángulo, se tiene que su área es: $$A_t=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ Como ha de ser igual al área de un cuadrado: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=l^2 \rightarrow l=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}a$$

• Moviendo los deslizadores se puede convertir el triángulo en un cuadrado.
• Dada la medida del lado del triángulo (AB) y del segmento (GI) se puede comprobar que estos valores están de acuerdo con que el segmento es la mitad del lado del cuadrado.

Veamos por qué el segmento IG es la mitad del lado del cuadrado. Simplificamos el cálculo tomando un triángulo equilátero de lado a=2: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}·2^2=l^2 \rightarrow l=\sqrt[4]{3}$$

• Se prolonga la altura AE hasta J, de forma que EJ=EB=1 y K es el punto medio de AJ
• Se traza el círculo de centro K y radio AK: $$AK=\frac{1}{2}(AE+EJ)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$
• Se prolonga BE hasta M y se obtiene el triángulo EMK donde: $$MK=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ $$EK=AE-AK=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2} $$
• Aplicando el teorema de Pitágoras: $$EM=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2}=\sqrt[4]{3} $$
que es el tamaño del lado del cuadrado.}
• Se traza el círculo de centro E y radio EF=EM. Y si 'alfa' es el ángulo EFC, aplicando el teorema del seno: $$sen(\alpha)=\frac{sen(60)·EC}{EF}=\frac{\sqrt{3}/2·1}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$
• FG=EC=1 y GI es perpendicular a FE: $$GI=FG·sen(\alpha)=1·\frac{\sqrt[4]{3}}{2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$