La conceptualización de los números complejos se remonta al siglo XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), quien demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se puede obtener la solución a una ecuación. Hasta ese momento, no se creía posible conseguir la raíz cuadrada de un número negativo.
La expresión a+bi para un número complejo fue introducida por René Descartes (1596-1650) y asumida más tarde por Leonhard Euler (1707-1783). Las operaciones de suma y producto de número complejos le dan una estructura de álgebra conmutativa.
Mostrando entradas con la etiqueta biografías. Mostrar todas las entradas
Mostrando entradas con la etiqueta biografías. Mostrar todas las entradas
miércoles, 31 de mayo de 2023
Los cuaterniones de Hamilton
La suma de dos números complejos es:
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$
El producto de dos números complejos es:
$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad-bc)i$$
Calculamos el cuadrado del módulo del número producto:
$$(ac-bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$
y se obtiene el cuadrado del producto de los módulos, llamada por Hamilton, 'ley de los módulos'. William Rowan Hamilton (1805-1865) fue catedrático en el Trinity College de Dublín y uno de los matemáticos más importantes de su época.
Hamliton intentó ampliar a números hipercomplejos de tres dimensiones, buscando una leyes análogas a las de los números complejos:
$$(a+bi+cj)+(a'+b'i+c'j)=(a+a')+(b+b')i+(c+c')j$$
Con la suma no hay problema pero cuando se trata del producto surgen problemas. Intenta ver si se sigue cumpliendo la ley de los módulos:
$$(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+2abi+2acj+2bcij$$
Considera que, por analogía con los números complejos, se debe cumplir:
$$i^2=j^2=-1$$
Ahora el cuadrado del módulo es:
$$(a^2-b^2-c^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2bc)^2=(a^2+b^2+c^2)^2+(2bc)^2$$
y para que se cumpla la ley de los módulos el último término sobra y por tanto se debería cumplir ij=0.
A Hamilton no le parece correcto y propone:
$$ij=-ji=k$$
pudiendo ser k nulo o no. El término sería:
$$bc(ij+ji)$$
Bajo estas condiciones:
$$ij=-ji=k$$
calcula el producto:
$$(a+bi+cj)(x+yi+zj)=$$
$$(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k$$
Y se pregunta si para k=0 se cumple la ley de módulos:
$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2$$
comprobando que no, porque en el término de la derecha faltaría:
$$(bz-cy)^2$$
que es el el cuadrado del coeficiente de k al desarrollar el producto.
Pero si k no fuera nulo, entonces el producto de dos tripletas no sería una tripleta y tendría cuatro términos en lugar de tres.
a lo que Hamilton respondía sacudiendo tristemente la cabeza:
Hamliton intentó ampliar a números hipercomplejos de tres dimensiones, buscando una leyes análogas a las de los números complejos:
$$(a+bi+cj)+(a'+b'i+c'j)=(a+a')+(b+b')i+(c+c')j$$
Con la suma no hay problema pero cuando se trata del producto surgen problemas. Intenta ver si se sigue cumpliendo la ley de los módulos:
$$(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+2abi+2acj+2bcij$$
Considera que, por analogía con los números complejos, se debe cumplir:
$$i^2=j^2=-1$$
Ahora el cuadrado del módulo es:
$$(a^2-b^2-c^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2bc)^2=(a^2+b^2+c^2)^2+(2bc)^2$$
y para que se cumpla la ley de los módulos el último término sobra y por tanto se debería cumplir ij=0.
A Hamilton no le parece correcto y propone:
$$ij=-ji=k$$
pudiendo ser k nulo o no. El término sería:
$$bc(ij+ji)$$
Bajo estas condiciones:
$$ij=-ji=k$$
calcula el producto:
$$(a+bi+cj)(x+yi+zj)=$$
$$(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k$$
Y se pregunta si para k=0 se cumple la ley de módulos:
$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2$$
comprobando que no, porque en el término de la derecha faltaría:
$$(bz-cy)^2$$
que es el el cuadrado del coeficiente de k al desarrollar el producto.
Pero si k no fuera nulo, entonces el producto de dos tripletas no sería una tripleta y tendría cuatro términos en lugar de tres.Durante prácticamente diez años Hamilton fue incapaz de avanzar en este sentido. Cada
mañana en el desayuno, sus hijos que en cierto modo participaban con afecto
en las esperanzas y los desengaños de su padre a medida que las investigaciones
tenían lugar, le preguntaban:
Bueno Papá, ¿puedes ya multiplicar las tripletas?.
a lo que Hamilton respondía sacudiendo tristemente la cabeza:
No. Por ahora sólo puedo sumarlas y restarlas.
Sin embargo, algo extraordinario iba a suceder mientras paseaba como de
costumbre con su mujer por el Canal Real en Dublín el 16 de octubre de 1843.
De pronto en un acto de revelación, Hamilton se dio cuenta de que todas sus
dificultades podían verse superadas simplemente con la consideración de tomar
cuatro términos en lugar de tres, es decir, si tomaba k como una tercera
unidad imaginaria añadida a i y j.
Hamilton describe este hecho quince años
después en una carta a uno de sus hijos:
Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron
a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuando
me encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, y llegamos
al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico
del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones
fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces.
Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e
hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí
que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o
podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque
sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual
aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince
años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en
una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos
i, j, k:
$$i^2 = j^2= k^2 = ijk = −1 $$
que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como
inscripción.
Hamilton denominó a estas nuevas expresiones cuaterniones, o números cuaternios. Son números hipercomplejos de la forma:
$$q = a + bi + cj + dk$$
donde a, b, c y d son números reales, e i, j y k satisfacen la relación:
$$i^2 = j^2 = k^2 = −1$$
Habiendo asumido que:
$$i^2 = j^2 = −1 \wedge k = ij = −ji$$
$$k^2=ijij=-jiij=-ji^2j=j^2=-1$$
Además se tiene:
$$ki=iji=-jii=-ji^2=j \wedge ik=iij=i^2j=-j$$
$$kj=ijj=ij^2=-i \wedge jk=jij=-ijj=-ij^2=i$$
Con todas estas relaciones ya se cumple la ley de los módulos y los números cuaterniones forman un álgebra no conmutativa.
lunes, 5 de septiembre de 2011
Roman Opalka, pintor de la infinitud
"El problema es que somos y estamos a punto de no ser". Para Roman Opalka, visualizar el paso del tiempo llegó a convertirse en una obsesión a la que dedicó gran parte de su vida, pintando una sucesión ininterrumpida de números que comenzó en su estudio de Varsovia un día de 1965, cuando con mano temblorosa registró aquel número uno en la esquina superior izquierda de un lienzo totalmente negro. 46 años después, cuando su muerte cerró la serie, había llegado al 5607249, escribiendo el guarismo tal como lo hubiera hecho el propio artista, que no utilizaba puntos para separar órdenes de magnitud. Opalka murió el día 6 de Agosto de 2011 mientras estaba de vacaciones en Roma, a punto de cumplir 80 años.
Desde entonces hasta ahora, Opalka (Hocquincourt, Francia, 1931) pintó un total de 233 cuadros (o detalles, como él los llamaba) en los que cada número, como cada segundo y cada minuto de nuestras vidas, precedía y era sucedido por una interminable procesión de líneas cuidadosamente ordenadas, del uno al infinito. Cada cifra tenía apenas un centímetro de altura; cada cuadro continuaba el anterior exactamente donde este lo dejó. Su quijotesca tarea, que para algunos críticos era poco menos que un suicidio, quiso exponer la inexorabilidad del tiempo que fluía a través de su vida, aproximándose a la muerte a través de la grandeza del infinito. Como él mismo escribió en 1987, "el tiempo, tal y como lo vivimos y lo creamos, encarna nuestra progresiva desaparición; estamos al mismo tiempo vivos y enfrentados con la muerte: ese es el misterio de todos los seres vivos. La conciencia de este inevitable desaparición ensancha nuestras experiencias sin disminuir nuestra alegría".
A lo largo de aquellos 46 años transcurridos entre Polonia, Alemania, Estados Unidos y Francia, donde se asentó en 1977, su obra -siempre bajo el título Opalka 1965/1 a infinito- apenas registró cambios. Usó, invariablemente, lienzos de 196 por 135 centímetros, y los números, dibujados en apenas dos trazos de idéntico grosor, siempre con un pincel número cero. En 1968 pasó del fondo negro al gris, y en 1972, al alcanzar la cifra de 1000000, empezó a aclararlo progresivamente, introduciendo cada año un 1% más de blanco. En 2008, finalmente, se encontró pintando cifras blancas sobre fondo blanco (que denominaba blanc merité, o blanco merecido).
También en 1972 empezó a grabarse pronunciando los números que iba pintando, unos 400 cada día y entre 20.000 y 30.000 por lienzo. Al final de cada sesión de trabajo se fotografiaba enfrente del detalle en el que había estado trabajando, envejeciendo mientras la secuencia de números le acompañaba hacia el infinito que tanto ansió siempre. Era reacio a los viajes, y cuando resultaban inevitables, continuaba en sus cartes de voyage, pintando números en tinta negra sobre papel blanco. Su labor llegó a ser tan absorbente y meditativa que pintaba incluso en medio de la noche, mientras el resto de la ciudad dormía; sufrió del corazón y durante un tiempo apenas podía sostener el botecito de pintura, pero nunca quiso abandonar.
Opalka, tres de cuyos cuadros fueron vendidos el año pasado en la casa de subastas Christie's por 900.000 euros, participó en muchas de las exposiciones de arte más relevantes, incluyendo Documenta (Kassel, Alemania) en 1997, la Bienal de Sao Paulo (Brasil) en 1987 y la de Venecia en 1995 y 2003, mientras que cuatro exposiciones en Italia, Francia y Corea del Sur rinden estos días homenaje a una obra cuyo primer cuadro se conserva en el Museo de Arte de Lodz, en Polonia, institución que prevé hacerse también con la última de sus obras.
¡En 1965 pintó su primer número; al morir había llegado al 5.607.249!
Fuente del texto: El País 31 agosto 2011
jueves, 3 de marzo de 2011
Diofanto
Diofanto de Alejandría fue el más importante de todos los algebristas griegos. Nació sobre el año 200 d.C. y murió alrededor del 284 d.C. La obra más importante que conocemos de Diofanto es su Arithmética, que es un tratado originariamente incluido en trece libros de los que sólo han sobrevivido los seis primeros. Se caracteriza por un alto grado de habilidad matemática y de ingenio puestos en juego, eso hace que este obra sea bien distinta de las de Nicómano, Teón y Boecio. Esta Arithmética representa una rama esencialmente nueva y utiliza por lo tanto unos planteamientos diferentes. Al no tener relación con los métodos geométricos, recuerda mucho al álgebra babilónica, pero mientras que la matemática babilónica se había ocupado principalmente de la solución aproximada de ecuaciones determinadas de grados hasta el tercero, la Arithmética de Diofanto, en lo que ha llegado a nosotros está dedicada completamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas. Por eso las ecuaciones cúbicas aparecen raramente en la obra de Diofanto. La Arithmética no es un texto de álgebra sino una colección de problemas sobre aplicaciones de álgebra.
miércoles, 23 de febrero de 2011
Chu Shih-Chieh
Chu Shih-Chieh fue el último y más importante matemático chino del período Sung. Se desconocen las fechas exactas de su nacimiento y de su muerte. Sólo se sabe que se ganaba la vida enseñando matemáticas de forma itinerante durante 20 años.
viernes, 21 de enero de 2011
María Gaetana Agnesi
María Gaetana Agnesi nació en Milán el 16 de mayo de 1718, siendo la primera hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio. Habría de ser la mayor de 21 hermanos, nacidos de las tres esposas que tuvo su padre. Sus padres eran ricos e ilustrados y se esmeraron en la educación de María con medios que -para los que se los pudieran permitir- eran habituales en la época: preceptores y profesores particulares, y reuniones de intelectuales convocadas en el salón del hogar familiar, en las que se debatían cuestiones filosóficas, especialmente de filosofía natural: cuestiones cercanas a lo que hoy llamamos física.
domingo, 16 de enero de 2011
Abu Al Waffa
Abu Al Waffa nació en 940 en Buzjan (hoy Irán) y murió en 980 en Bagdad (Irak). Como muchos matemáticos de esa época, Abu Al Waffa tradujo y escribió comentarios sobre los trabajos de Euclides, Diofanto y Al-Khawarizmi.
lunes, 3 de enero de 2011
Luca Pacioli
Luca Pacioli nació en Umbría, una provincia de Italia en 1445. Su familia era extremadamente pobre y Luca no pudo nunca asistir a la escuela. Sin embargo, el estar siempre en contacto con artesanos y mercaderes le permitió ir aprendiendo distintos oficios y sobre todo un poco de lo que en esa época se llamaban matemáticas comerciales que consistían básicamente en manejar el sistema de numeración hindo-arábigo (el que nosotros usamos hoy en día), saber sumar, restar, multiplicar y dividir.
lunes, 27 de diciembre de 2010
Blaise Pascal
Blaise Pascal nació el 19 Junio de 1623 en Clermont (Francia) y murió el 19 de Agosto de 1662 en París a la edad de 39 años. Blaise Pascal. El padre de Pascal decidió que su hijo no estudiara matemáticas antes de los 15 años y todos los textos de matemáticas fueron sacados de su hogar. Pascal, sin embargo, sintió curiosidad por las matemáticas y comenzó a trabajar en geometría a la edad de 12 años. Descubrió que la suma de los ángulos de un triángulo corresponden a dos ángulos rectos y cuando su padre se enteró de ello, se arrepintió de la decisión tomada y entregó a su hijo un texto de Euclídes.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)