martes, 29 de agosto de 2023

Dados no transitivos (II)

La idea de los dados no transitivos existe desde principios de la década de 1970. Aquí hay otro famoso juego con cuatro dados no transitivos conocido como 'Efron Dice' e inventado por el estadístico estadounidense Brad Efron (1938-).
En la imagen se muestra el diagrama de árbol donde el dado azul gana al dado naranja y el grafo que muestra que el juego no es trasitivo.
$$p(R>V)=p(3)·p(2)=1·\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(6)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(A>N)=p(1)·p(0)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(N>R)=p(4)=\frac{2}{3}$$
Vemos que dado rojo gana al verde, el verde al azul, el azul al naranja y el naranja al rojo y todos con las misma probabilidad 2/3. Si nos fijamos en los dados opuestos en el grafo, se puede comprobar que el dado verde gana al dado naranja con probabilidad 5/9 pero los dados rojo y azul tienen la misma probabilidad de ganar. Se dice que el exitoso inversor estadounidense Warren Buffett es fanático de dados no transitivos. Cuando desafió a su amigo Bill Gates con un juego de dados Efron, Bill comenzó a sospechar e insistió para que Warren eligiera primero.

Otro conjunto de cinco dados no transitivos conocido como 'Grime dice' fue creado por el matemático James Grime (1980-) que colabora en la plataforma de videos de divulgación matemática Numberphile .
$$p(R>V)=p(2)·p(1)+p(7)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(1)·p(0)+p(6)=\frac{1}{3}·\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{13}{18}$$ $$p(A>N)=p(5)·p(4)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$ $$p(N>M)=p(4)·p(3)+p(9)=\frac{5}{6}·\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{13}{18}$$ $$p(M>R)=p(3)·p(2)+p(8)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$
En la imagen el grafo de la izquierda muestra el ciclo, indicando que el juego no es transitivo, y el grafo de la derecha muestra un ciclo alternativo.
$$p(N>R)=p(R>A)=\frac{7}{12}$$ $$p(A>M)=p(M>V)=p(V>N)=\frac{5}{9}$$ La primera 'cadena' de dados es más fuerte que la segunda. En el primer caso la probabilidad media de ganar es más del 69% mientras en el segundo caso no llega al 57%.
Unos dados curiosos llevan en sus caras los siguientes números: 0, 1, pi, la constante de Euler, la proporción áurea y el conjugado de la proporción áurea.
¿Estos dados forman un conjunto no transitivo? Con dos dados, ¿el orden se invierte como antes?

domingo, 25 de junio de 2023

Selectividad Ciencias-Curso 2022-2023

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 22/23.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

martes, 20 de junio de 2023

Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2022-2023

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 22/23.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

miércoles, 31 de mayo de 2023

Los cuaterniones de Hamilton

La conceptualización de los números complejos se remonta al siglo XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), quien demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se puede obtener la solución a una ecuación. Hasta ese momento, no se creía posible conseguir la raíz cuadrada de un número negativo. La expresión a+bi para un número complejo fue introducida por René Descartes (1596-1650) y asumida más tarde por Leonhard Euler (1707-1783). Las operaciones de suma y producto de número complejos le dan una estructura de álgebra conmutativa.
La suma de dos números complejos es: $$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ El producto de dos números complejos es: $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad-bc)i$$ Calculamos el cuadrado del módulo del número producto: $$(ac-bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$ y se obtiene el cuadrado del producto de los módulos, llamada por Hamilton, 'ley de los módulos'. William Rowan Hamilton (1805-1865) fue catedrático en el Trinity College de Dublín y uno de los matemáticos más importantes de su época.
Hamliton intentó ampliar a números hipercomplejos de tres dimensiones, buscando una leyes análogas a las de los números complejos: $$(a+bi+cj)+(a'+b'i+c'j)=(a+a')+(b+b')i+(c+c')j$$ Con la suma no hay problema pero cuando se trata del producto surgen problemas. Intenta ver si se sigue cumpliendo la ley de los módulos: $$(a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+2abi+2acj+2bcij$$ Considera que, por analogía con los números complejos, se debe cumplir: $$i^2=j^2=-1$$ Ahora el cuadrado del módulo es: $$(a^2-b^2-c^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2bc)^2=(a^2+b^2+c^2)^2+(2bc)^2$$ y para que se cumpla la ley de los módulos el último término sobra y por tanto se debería cumplir ij=0. A Hamilton no le parece correcto y propone: $$ij=-ji=k$$ pudiendo ser k nulo o no. El término sería: $$bc(ij+ji)$$ Bajo estas condiciones: $$ij=-ji=k$$ calcula el producto: $$(a+bi+cj)(x+yi+zj)=$$ $$(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k$$ Y se pregunta si para k=0 se cumple la ley de módulos: $$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2$$ comprobando que no, porque en el término de la derecha faltaría: $$(bz-cy)^2$$ que es el el cuadrado del coeficiente de k al desarrollar el producto. Pero si k no fuera nulo, entonces el producto de dos tripletas no sería una tripleta y tendría cuatro términos en lugar de tres.

Durante prácticamente diez años Hamilton fue incapaz de avanzar en este sentido. Cada mañana en el desayuno, sus hijos que en cierto modo participaban con afecto en las esperanzas y los desengaños de su padre a medida que las investigaciones tenían lugar, le preguntaban:

Bueno Papá, ¿puedes ya multiplicar las tripletas?.

a lo que Hamilton respondía sacudiendo tristemente la cabeza: 

No. Por ahora sólo puedo sumarlas y restarlas.

 Sin embargo, algo extraordinario iba a suceder mientras paseaba como de costumbre con su mujer por el Canal Real en Dublín el 16 de octubre de 1843. De pronto en un acto de revelación, Hamilton se dio cuenta de que todas sus dificultades podían verse superadas simplemente con la consideración de tomar cuatro términos en lugar de tres, es decir, si tomaba k como una tercera unidad imaginaria añadida a i y j

Hamilton describe este hecho quince años después en una carta a uno de sus hijos:

Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuando me encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, y llegamos al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces. Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos i, j, k:
$$i^2 = j^2= k^2 = ijk = −1 $$
que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como inscripción.
Hamilton denominó a estas nuevas expresiones cuaterniones, o números cuaternios. Son números hipercomplejos de la forma: $$q = a + bi + cj + dk$$ donde a, b, c y d son números reales, e i, j y k satisfacen la relación: $$i^2 = j^2 = k^2 = −1$$ Habiendo asumido que: $$i^2 = j^2 = −1 \wedge k = ij = −ji$$ $$k^2=ijij=-jiij=-ji^2j=j^2=-1$$ Además se tiene: $$ki=iji=-jii=-ji^2=j \wedge ik=iij=i^2j=-j$$ $$kj=ijj=ij^2=-i \wedge jk=jij=-ijj=-ij^2=i$$ Con todas estas relaciones ya se cumple la ley de los módulos y los números cuaterniones forman un álgebra no conmutativa.

miércoles, 19 de abril de 2023

Dados no transitivos (I)

Sean tres dados: rojo, verde y azul con sus caras numeradas como se muestra en la imagen.
Si el primer jugador elige el dado verde, entonces, si el segundo jugador elige el dado rojo tiene una mayor probabilidad de ganar. Observando el diagrama de árbol:
$$p(R>V)=p(3)·p(2)+p(6)=\frac{5}{6}·\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$$ Análogamente el dado verde 'gana' al azul y el dado azul 'gana' al rojo: $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{7}{12}$$ $$p(A>R)=p(4)·p(3)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$
Se forma un ciclo que se visualiza en el grafo dirigido de la imagen y por tanto no se cumple la propiedad transitiva. Por lo tanto, siempre que tu oponente elija primero, siempre podrás elegir un dado con más posibilidades de ganar, con una probabilidad promedio de ganar de alrededor del 62%, aunque te gustaría que eligiera el dado rojo.
Tim Rowett presentó este juego de dados no transitivos en el Gathering for Gardner V (2002). Es una fundación educativa sin ánimo de lucro para mantener el legado del divulgador matemático Martin Gardner (1914-2010).

Si se lanzan dos dados del mismo color entonces el ciclo se invierte. Los dados verdes 'ganan' a los dados rojos: $$ p(VV>RR)=p(7)·p(6)+p(10)·p(6)+p(10)·p(9)=$$ $$\frac{18}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{25}{36}+\frac{9}{36}·\frac{10}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados verdes pueden sumar 4,7,10 y los dados rojos pueden sumar 6,9,12.
En el diagrama de árbol se muestra como ganan los dados verdes a los dados rojos y el grafo dirigido visualiza un ciclo de sentido inverso.

Los dados azules 'ganan' a los dados verdes: $$ p(AA>VV)=p(5)·p(4)+p(8)·p(4)+p(8)·p(7)=$$ $$\frac{10}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{9}{36}+\frac{25}{36}·\frac{18}{36}=\frac{765}{1296}=\frac{85}{144}$$ teniendo en cuenta que los dados azules pueden sumar 2,5,8 y los dados verdes pueden sumar 4,7,10.

Los dados rojos 'ganan' a los dados azules: $$ p(RR>AA)=p(6)·p(2)+p(6)·p(5)+p(9)+p(12)=$$ $$\frac{25}{36}·\frac{1}{36}+\frac{25}{36}·\frac{10}{36}+\frac{10}+\frac{1}{36}=\frac{671}{1296}$$ teniendo en cuenta que los dados rojos pueden sumar 6,9,12 y los dados azules pueden sumar 2,5,8. La probabilidad media de ganar con dos dados es alrededor del 57% y la probabilidad de que los dados rojos ganen a los dados azules es muy ajustada.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede jugar contra el ordenador eligiendo el número de partidas y en cada tirada cualquiera de los tres colores con los botones de la izquierda.
  • Se muestran los resultados acumulados después de cada tirada así como la gráfica correspondiente.
  • Se puede jugar contra el ordenador eligiendo series de jugadas del tamaño deseado y siempre con un color determinado con los botones de la derecha.
  • Se muestran los resultados acumulados después de cada serie así como la gráfica correspondiente.
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