lunes, 18 de abril de 2022

En el espíritu de Wasan (I)

Hay una palabra, wasan, que utilizan los japoneses para referirse  a sus matemáticas frente a yosan o matemáticas occidentales. Aunque el wasan se debe a varios matemáticos japoneses, los iniciadores son Kambei Mori (principio siglo 17) y Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672). Veamos un ejemplo sencillo que utiliza el teorema de Pitágoras.

Los centros A y B de dos círcunferencias iguales están en la circunferencia de la otra. Construir una circunferencia tangente a la recta AB, a la circunferencia de centro A interiormente y a la circunferencia de centro B exteriormente.

Llamamos AB=a, AF=x y GF=r (el radio de la circunferencia buscada). En el triángulo BFG, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

$$(a+r)^2=r^2+(a+x)^2$$

y , de forma análoga, en el triángulo AFG se cumple:

$$ (a-r)^2=r^2+x^2$$

Simplificando ambas ecuaciones y restando se obtiene:

$$4ar=a^2+2ax \rightarrow x+ a/2=2r$$

Significa que el lado EF del cuadrado ACDE, siendo C el punto medio del segmento AB, es un diámetro de la circunferencia buscada. Por tanto es fácil su construcción.

  • Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

lunes, 28 de febrero de 2022

Método de Lill

El ingeniero y oficial del ejército austríaco Eduard Lill (1830-1900) ideó en matemáticas un procedimiento gráfico para determinar las raíces reales de un polinomio, que en esencia es una representación gráfica del algoritmo de Horner. Publicó su invento en 1867 en la revista francesa 'Nouvelles Annales de Mathématiques', y Charles Hermite proporcionó una descripción del mismo para el 'Compes rendus' del mismo año. Más tarde se conoció como el método de Lill.

El método de Lill implica expresar los coeficientes de un polinomio como magnitudes de una secuencia de segmentos en ángulos rectos entre sí. Encontrar las raíces se convierte en la realización de un problema geométrico. Vamos a explicarlo con el siguiente polinomio:

$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3$$

Siempre se puede hacer que el coeficiente de la potencia más alta sea la unidad, basta dividir todo el polinomio por ese valor. Se construye un primer segmento AB=1 y a continuación se construyen los segmentos perpendiculares correspondientes a los demás coeficientes del polinomio de la siguiente forma:

Hacia arriba BD=5, hacia la izquierda DF=7 y hacia abajo FH=3 porque todos los coeficientes son positivos. Cuando son negativos,  se construyen en el sentido contrario a partir del extremo B. Se traza un segmento AC con el extremo en un punto cualquiera del segmento BD. Se traza el segmento CE perpendicular a AC y el segmento EG perpendicular a CE.

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x$$

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x \rightarrow CD=5-(-x)=5+x$$

$$tg (\alpha)=\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{5+x}=-x \rightarrow DE=-x(5+x) \rightarrow EF=7+x(5+x)$$

$$tg (\alpha)=\frac{FG}{EF}=\frac{FG}{7+x(5+x)}=-x \rightarrow FG=-x(7+x(5+x)) \rightarrow $$

$$GH=3+x(7+x(5+x))=3+x(7+5x+x^2)=3+7x+5x^2+x^3$$

Es decir, obtenemos el polinomio pero expresado según el algoritmo de Horner.
Si se divide el polinomio por x+2, se tiene:

$$\frac{1x^3+5x^2+7x+3}{x+2}=1x^2+3x+1+\frac{1}{x+2}$$

Si se observa la figura que AB=1, CD=3 y EF=1 coinciden con los coeficientes del polinomio cociente; GH=1 es el resto de la división y BC=2 es término independiente del divisor. Para obtener una raíz debemos situar el punto C de forma que la construcción de segmentos perpediculares finalice en el punto H. No hay resto y la división es exacta.
$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3=(x+1)^2(x+2)$$
El polinomio tiene tres raíces (una de ellas doble) y se pueden obtener gráficamente.

  • Moviendo el punto azul se obtienen dos raíces diferentes.
  • Se puede ver o no la obtención de la otra raíz doble.
  • Moviendo el punto rojo se obtiene la segunda raíz doble.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
Desarrollando las potencias siguientes se observa que los coeficientes de los polinomios son los números combinatorios correspondientes al triángulo de Pascal.
$$(x+1)^0=1$$
$$(x+1)^2=1x^2+2x+1$$
$$(x+1)^3=1x^3+3x^2+3x^1+1$$
$$(x+1)^4=1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$
$$(x+1)^5=1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$
Podemos obtener, de forma gráfica e iterativa, la solución de cada polinomio y mostrando los segmentos cuyos tamaños son los diferentes números combinatorios.

  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

viernes, 21 de enero de 2022

Períodos de Pisano

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano es conocido como Fibonacci, hijo de Bonacci, que era el apodo de su padre. De ahí el nombre de Períodos de Pisano a los obtenidos de la sucesión de Fibonacci.
La operación módulo da el resto de una división entera: $$14 \mod 3 =2$$ donde 2 es el resto de dividir 14 entre 3.

Para la sucesión de Fibonacci: $$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181...$$ la sucesión de restos, es siempre periódica: $$F_i \mod n$$
  • restos modulo 2: $$0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1...$$
  • restos modulo 3: $$0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1...$$
  • restos modulo 4: $$0,1,1,2,3,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,3,2,1,0,1,1,2,3,1...$$
  • restos modulo 5: $$0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2...$$
  • restos modulo 6: $$0,1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1...$$
  • restos modulo 7: $$0,1,1,2,3,5,1,6,1,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,5,1...$$
  • restos modulo 8: $$0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1...$$
  • restos modulo 9: $$0,1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1...$$
El período en función del divisor n se indica: $$\pi(n)$$ $$\pi(2)=3, \pi(3)=8,\pi(4)=6,\pi(5)=20$$ $$\pi(6)=24, \pi(7)=16, \pi(8)=12, \pi(9)=24$$ Conforme aumenta el valor del divisor, en general, tiende a aumentar el período. Salvo el caso de n=3 todos los períodos son un número par. Si dos números,m y n, son coprimos: $$\pi(m\cdot n)=\pi(m)\cdot\pi(n)\rightarrow \pi(3)\cdot\pi(4)=8\cdot 6=24=\pi(12)$$
Para las potencias de 2:
$$\pi(n)=\frac{3n}{2}\rightarrow \pi(2)=3, \pi(4)=6, \pi(8)=12$$
Para las potencias de 5:
$$\pi(n)=4n\rightarrow \pi(5)=20$$
Considerando la sucesión de restos módulo 3, dibujamos en un circulo tres puntos equdiastantes correspondientes a los tres restos posibles. Siguiendo la sucesión, se une con un segmento cada punto de un término con el punto del término siguiente (en el caso de coincidir dos términos consecutivos no se traza ningún segmento). En la imagen se muestra como se completa la figura.
En la imagen se muestran las figuras obtenidas para las sucesiones de módulo 2, 3,4,5,6,7,8 y 9.
Nos fijamos en el número de ceros que tiene cada ciclo: 2(1), 3(2), 4(1), 5(4), 6(2), 7(2), 8(2) y 9(2). Si tiene 1 cero hay asimetría, si tiene 4 ceros tiene simetría y si tiene 2 ceros puede o no tener simetría.
En el caso de módulo 10, el periodo es: $$\pi(10)=\pi(2)\cdot\pi(5)=3\cdot 20=60$$ y el ciclo tiene 4 ceros y por tanto la figura es es simétrica.

  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
Si nos fijamos en los términos de la sucesión de Fibonacci: ...8, 13, 21, 34, 55, 89,... las figuras obtenidas de los restos módulo 8, 21, 55 son idénticas y lo mismo ocurre con las figuras de los restos módulo 13, 34, 89.

jueves, 25 de noviembre de 2021

La disección de Dudeney

En general, una disección geométrica consiste en cortar una figura geométrica dada, como un triángulo, un cuadrado u otra figura más compleja, en una serie de piezas que reordenadas dan lugar a otra figura geométrica. Como ejemplo de disección geométrica podemos mostrar la solución a uno de los problemas que el matemático recreativo británico Henry E. Dudeney (1857-1930) comenta en su libro Amusements in mathematics (1917). El problema consiste en saber cómo dividir un cuadrado en cuatro partes para generar una cruz griega, es decir, una cruz con los cuatro brazos iguales. Las soluciones mostradas en el libro, que podían realizarse con dos cortes, eran:
La conocida como disección de Dudeney, de un triángulo equilátero en un cuadrado, aparece en el libro de Henry E. Dudeney, The Canterbury Puzzlescomo “el acertijo del mercero”:

Enseñó [el mercero] un trozo de tela con forma de triángulo equilátero perfecto, como se ve en la ilustración y dijo: “¿Es alguno de vosotros diestro en el corte de género? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, y el estudioso puede aprender del lacayo, y el sabio del necio. Mostradme, pues, si podéis, de qué manera puede cortarse este trozo de género en cuatro piezas, para que puedan reunirse y formar un cuadrado perfecto”.

Proceso de disección propuesto por Dudeney a partir del triángulo equilátero ABC:
  • Marcar los puntos medios D y E de los AB y BC, respectivamente.
  • Prolongar el segmento AE hasta el puto F tal que EF=EB.
  • Marcar el punto medio G del segmento AF y trazar el arco de circunferencia de centro G y radio GF=AG.
  • Prolongar el segmento CB hasta que corte el arco de circunferencia en H.
  • Trazar el arco de circunferencia con centro E y radio EH hasta que corte el lado AC en J.
  • Determinar el punto K tal que JK=AD (=DB=BE=EC).
  • Trazar el segmento JE.
  • Trazar desde D y K los segmentos perpediculaes al segmento JE, dando lugar a los puntos L y M (los segmentos serían DL y KM).
  • Los polígonos de la disección son: 1. DBEL, 2. ADLJ, 3. JMK y 4. KMEC.
  • Se puede ver la obtención de la disección 'paso a paso'.
  • Moviendo las barras de desplazamiento se obtiene el cuadrado.

viernes, 29 de octubre de 2021

Modelo lingüístico de Abrams-Strogatz

El 90% de las lenguas del mundo pueden desaparecer en la próxima generación. Vamos a analizar la competencia entre dos lenguas en un ámbito determinado y donde los individuos son monlingües y como una de ellas acaba imponiéndose a la otra. La atracción hacia una de las lenguas depende de su número de hablantes pero también del 'estatus' de una lengua, entendido como las oportunidades económicas y sociales que dan expresarse en esa lengua. Si X e Y representan dos lenguas que comparten un mismo espacio, se tiene que la velocidad con la que cambia la población que habla la lengua X es:
$$\frac{dx}{dt}=(1-x)\cdot P_{yx}-x \cdot P_{xy}$$ Siendo x la proporción de hablantes de la lengua X, y Pyx y Pxy las probabilidades de cambiar de la lengua Y a la lengua X y viceversa.
$$P_{yx}=sx^a \wedge P_{xy}=(1-s)(1-x)^a$$
donde s es el parámetro que mide el 'estatus' o 'prestigio' de la lengua, siendo: $$0 \leq s \leq 1$$
Si s<1/2 la lengua X tiene menos 'prestigio' que la lengua Y.

El parámetro a mide como influye de la mayor o menor conectividad de la población. Una población muy dispersa dificulta los contactos y disminuye la posibilidad de cambiar de lengua, eso ocurre cuando a>1. En cambio si la población está muy interconectada, ´por ejemplo grandes núcleos de población, se favorece el cambio de idioma, lo que ocurre cuando a<1.
La fracción de hablantes de la lengua X a largo plazo para a=1, se aproxima a la función exponencial decreciente: $$x=e^{(2s-1)t} \wedge s < \frac{1}{2}$$
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir la proporción de personas que hablan la lengua X.
  • Se pueden modificar los parámetros 's' y 'a'.
  • Se puede elegir el instante temporal y observar la proporción que habla cada lengua.
  • Se muestran las gráficas de la evolución de las poblaciones.
  • Descargar .XLS

lunes, 27 de septiembre de 2021

Los números de Lah y de Hal

Los números de Lah fueron descubiertos, en 1954, por el matemático esloveno Ivo Lah (1896-1979)  y son los coeficientes que permiten expresar factoriales crecientes en función de factoriales decrecientes.
Un factorial creciente es:
$$x^{(n)}=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)$$
Un factorial decreciente es:
$$x_{(n)}=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$$
Así, por ejemplo, se tiene que:
$$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=6x+6x(x-1)+1x(x-1)(x-2)$$
$$x^{(3)}=6x_{(1)}+6x_{(2)}+1x_{(3)}$$
Los números de Lah se denotan como L(n,k) donde n es el grado del polinomio creciente y k los grados de los polinomios decrecientes. Así, en el ejemplo, los números de Lah son:
$$L(3,1)=6, L(3,2)=6, L(3,3)=1$$
y por tanto:
$$x^{(3)}=L(3,1)x_{(1)}+L(3,2)x_{(2)}+L(3,3)x_{(3)}$$
La fórmula general para obtener los factoriales crecientes en función de los factoriales decrecientes es:
$$x^{(n)}=\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x_{(k)}$$
y la fórmula para obtener los números de Lah directamente es:
$$L(n,k)=\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$
Hay una fórmula de recurrencia para obtener, a partir de L(n,1)=n!,  los demás términos del polinomio dado:
$$L(n,k+1)=\frac{n-k}{k(k+1)}L(n,k) \rightarrow L(3,2)=\frac{3-1}{1·2}L(3,1)=6$$
Hay otra fórmula de recurrencia para obtener nuevos números al variar n:
$$L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)$$
$$L(n,0)=0 \wedge L(n,k)=0 \wedge k>n$$
Por ejemplo, para obtener los números de Lah para el polinomio de cuarto grado a partir de los números del polinomio de grado tres:
$$L(4,1)=(3+1)L(3,1)+L(3,0)=4·6+0=24$$
$$L(4,2)=(3+2)L(3,2)+L(3,1)=5·6+6=36$$
$$L(4,1)=(3+3)L(3,3)+L(3,2)=6·1+6=12$$
$$L(4,1)=(3+4)L(3,4)+L(3,3)=4·0+1=1$$
Por otra parte llamaremos números de Hal a los coeficientes que permiten expresar factoriales decrecientes en función de factoriales crecientes.
$$x_3{(3)}=x(x-1)(x-2)=6x-6x(x+1)+1x(x+1)(x+2)$$
$$x_{(3)}=6x^{(1)}-6x^{(2)}+1x^{(3)}$$
Así, en el ejemplo, los números de Hal son:
$$H(3,1)=6, H(3,2)=-6, H(3,3)=1$$
y por tanto:
$$x_{(3)}=H(3,1)x^{(1)}+H(3,2)x^{(2)}+H(3,3)x^{(3)}$$
La fórmula de recurrencia es:
$$H(n+1,k)=(n+k)H(n,k)-H(n,k-1)$$
$$H(n,0)=0 \wedge H(n,k)=0 \wedge k>n$$
La fórmula cerrada es:
$$H(n,k)=(-1)^k \left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$