sábado, 8 de febrero de 2025

Magia con cartas (I)

PREPARACIÓN

Previamente y sin el conocimiento de los espectadores, el mago coloca, desde la parte superior de la baraja, y con las caras hacia abajo, nueve cartas según la siguiente secuencia: 7 3 5 4 9 2 A 6 8.

El palo no tiene importancia. Esta secuencia se puede cambiar, sin embargo, se debe asegurar que la suma de los valores de las tres primeras cartas sea igual a 15, así como la suma de los tríos siguientes. El mago también debe introducir el código 1665 en el candado.


DESARROLLO
  • El mago pide prestado al público un objeto, un anillo o un llavero, algo que pueda sujetar a su candado. Después de hacerlo, cambia la combinación discretamente. Le entrega el candado a un espectador y le pide que cambie aleatoriamente los números de la combinación. El candado podrá permanecer en posesión de este último espectador hasta el final del truco.
  • Luego, el mago solicita la participación de otros tres espectadores. Distribuye las nueve cartas, que están en la parte superior del mazo, entre los tres voluntarios, siempre boca abajo. Las tres primeras cartas se entregan al primer espectador, las tres siguientes al segundo y las restantes al tercero. Cada espectador puede barajar sus tres cartas.
  • El mago dice que los tres espectadores le ayudarán a descubrir el código que le permitirá abrir la cerradura y recuperar el objeto prestado. Para ello, el mago tendrá que sumar tres números, de tres dígitos, que serán presentados por los espectadores con ayuda de las cartas que tengan en la mano. Antes de iniciar todo el procedimiento, el mago pide a los voluntarios que decidan, entre ellos, quién proporcionará las centenas, las decenas y las unidades.
  • Después el mago se dirige a una pizarra. Le pide al 'espectador de las centenas' que elija una de sus cartas y anuncie su valor. El mago afirma que esta carta debe descartarse. El mago anota el número anunciado en la pizarra y pide al 'espectador de las decenas' y luego al 'espectador de las unidades' que hagan lo mismo. Cada espectador tiene dos cartas en la mano y en el tablero está grabado un número de tres cifras. El mago repite el procedimiento hasta que se queda sin cartas. Los tres números grabados en la pizarra deben estar alineados para que se puedan sumar con el algoritmo de suma habitual.
  • El mago suma los tres números. El mago anuncia al público que la suma obtenida (1665) podría ser la combinación del candado y luego pide al espectador, que lo tiene consigo, que introduzca este código. ¡Y  el candado se abre! ¡MAGIA!
EXPLICACIÓN

Consideremos las 9 cartas: $$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2,c_3$$ sabiendo que están preparadas para que: $$a_1+a_2+a_3=15 $$ $$b_1+b_2+b_3=15 $$ $$c_1+c_2+c_3=15 $$

 Al sumar podemos tener la siguiente situación:


Independientemente de las permutaciones de las cartas de cada espectador, la suma obtenida siempre será 1665, ya que el algoritmo de suma utilizado se realiza por columnas.

sábado, 11 de enero de 2025

2025: un año muy matemático

Este año es un cuadrado perfecto: $$2025=45^2$$ El anterior no lo conocimos, fue 1936 y el próximo no lo conceremos, será 2116. Además el año se puede expresar de muchas maneras:
  • 2025=34·52 (suma igual de las cifras)
  • 2025=272+362 (suma igual de las cifras)
  • 2025=13+23+33+43+53+63+73+83+93
Se puede construir un cuadrado mágico donde las filas, las columnas y las diagonales sumen 2025:
Es el producto de dos cuadrados perfectos: $$2025=5^2·9^2$$ y la suma de tres cuadrados perfectos: $$2025=5^2+20^2+40^2$$El cuadrado de la suma de todos los dígitos del 0 al 9: $$2025=(0+1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)^2$$ La suma de los cubos de esos mismos dígitos: $$=0^3+1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3$$ También es un número de Kaprekar (Al hacer su cuadrado el número resultante puede dividirse en dos partes que suma el número original): $$2025^2=4100625 \rightarrow 4100+625=2025$$ Y un número de Gapful (aquel que es divisible por el número formado por su primer y último dígito): $$\frac{2025}{25}=81$$ Y un número cortés (aquel qe es suma de varios números consectivos): $$2025=674+675+676$$ $$2025=403+404+405+406+407$$ Un número es octogonal centrado si forma un patrón en anillos concéntricos alrededor de un punto central, evocando la forma de un octágono radial.
Matemáticamente, los números que son octagonales centrados se definen por la suma: $$C_n=1+\sum_{i=1}^{n-1} 8·i$$ $$C_{23}=1+\sum_{i=1}^{22} 8·i=1+8(1+2+3+\dots +20+21+22)=2025$$
Por tanto el 2025 podría formarse con 22 anillos octogonales y un punto central.

Un número Harshad-Niven en una base dada es un número entero que es divisible por la suma de sus dígitos cuando se escribe en esa base. Este tipo de números, también llamados 'números de gran alegría' (Harshad significa gran alegría en sánscrito).
Un número N de m dígitos expresado en base n es: $$N=\sum_{i=0}^{m-1}a_i·n^i \rightarrow 2025=5·10^0+2·10^1+0·10^2+2·10^3$$ Y será un número de Harshad-Niven si: $$N \equiv 0 \hspace{.2cm}(mod \hspace{.2cm}\sum_{i=0}^{m-1}a_i) \rightarrow 2025 \equiv 0 \hspace{.2cm}(mod \hspace{.2cm}(5+2+0+2)) $$ Como 2025/9=225, se cumple la congruencia y por tanto es un número Harshad-Niven.

viernes, 6 de diciembre de 2024

Sucesión de Connell

La sucesión de Connell es una sucesión de números naturales construida de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión: $$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, \dots$$ El término general de esta sucesión viene dado por la expresión: $$C_n=2n-\lfloor \frac{1}{2} \sqrt{8n+7}+1\rfloor$$ Para términos, suficientemente avanzados, se cumple: $$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_n}{n}=2$$ Las subsucesiones son: $$ S_1=\{1\}, S_2=\{2,4\}, S_3=\{5,7,9\}, S_4=\{10,12,14,16\} \dots$$ Los números triangulares (poligonales de orden 3) se obtienen con la fórmula: $$T(n)=P_3(n)=\frac{1}{2}n(n+1) \rightarrow 1, 3, 6, 10, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$C(T_n)=n^2$$ Stevens generalizó la sucesión de Connell, donde el término general es: $$C_{m,r} \wedge m \geq 2 \wedge r \geq 1$$ Se parte del entero 1 que es un número congruente con 1 (mod m); le sigue el entero 1+r congruente con 2 (mod m); luego el entero 1+2r congruente con 3 (mod m) y así sucesivamente. Si m=2 y r=1 (los valores mínimos) se obtiene la sucesión de Connell. De forma más detallada se tiene su definición:
  • La sucesión está formada por subsucesiones concatendas S1, S2, S3,...
  • La subsucesión S1 está formada por el elemento 1.
  • Si la subsucesión Sn termina en el elemento e, la subsucesión Sn+1 empieza en e+1.
  • Si la subsucesión Sn contiene t términos, la subsucesión Sn+1 contiene t+r términos.
  • Si la sucesión es creciente y la diferencia entre dos términos consecutivos de la misma subsucesión es m.
Sea la sucesión: C3,2: 1;2,5,8;9,12,15,18,21;22,25,28,31,34,37,40,...

Los números octogonales (poligonales de orden 8) se obtienen con la fórmula: $$P_8(n)=n(3n-2) \rightarrow 1, 8, 21, 40, ...\dots$$ Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple: $$P_8(n)=C_{3,2}(n^2)$$ Sea la sucesión: C3,1: 1;2,5;6,9,12;13,16,19,22;23,26,29,32,35...

Los números pentagonales (poligonal de orden 5) se obtienen con la fórmula: $$P_5(n)=\frac{1}{2}n(3n-1) \rightarrow 1, 5, 12, 22, 35...\dots$$ Se observa que los últimos números de cada subsucesión son P5(n).

Hay una fórmula general para los números poligonales: $$P_k(n)=\frac{1}{2}n[(k-2)n-k+4]$$ que se puede comprobar su validez para los casos anteriores y obtener P4(n): $$P_3(n), P_5(n), P_8(n), P_4(n)=n^2$$. También existe otra fórmula general que relaciona las sucesiones generalizadas de Connell con los número poligonales: $$C_{m,r}[P_{r+2}(n)]=P_{m\cdot r+2}(n)$$ que se puede aplicar a dos casos anteriores: $$C_{2,1}[P_3(n)]=P_4(n) \wedge C_{3,2}[P_4(n)]=P_8(n)$$ Para términos suficientemente avanzados, se cumple: $$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_{m,r}(n)}{n}=m$$

miércoles, 30 de octubre de 2024

Incendio forestal (II)

En el modelo se considera un terreno rectangular de 20X40 puntos en los que se pueden plantar hasta 800 árboles entre pinos (P) y robles (M). Se considera que el fuego no afecta apenas a los robles pero sí a los pinos. El simulador permite elegir el porcentaje de pinos y robles plantados que son situados en el terreno de forma aleatoria. Puede haber varios focos de fuego que se sitúan de manera aleatoria en el terreno. El incendio se propaga en cualquier dirección de forma que un pino ardiendo prende a los pinos cercanos pero no afecta a los robles. En un momento determinado el fuego se detiene al no poder propagarse más.

¡Una reforestación combinada con árboles resistentes al fuego reduce el impacto de un incendio!
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • El botón 'iniciar' limpia de árboles el terreno.
  • Las primeras flechas permiten elegir el porcentaje de pinos plantados.
  • Las segundas flechas permiten elegir el porcentaje de robles plantados.
  • El botón 'plantar' muestra los árboles reales plantados y su porcentaje.
  • El botón 'fuego' pone cada vez un punto de inicio del fuego.
  • El botón 'incendio' muestra el resultado del incendio, los pinos quemados y su porcentaje.
Descargar .XLS

domingo, 29 de septiembre de 2024

Problema de Thanos Kalogerakis (2017)

BC es el diámetro de un circulo; M es el punto medio del arco inferior BC; A es un punto en el arco superior BC. El punto D está en la semirrecta que pasa por A y B de forma que MD es perpendicular a AB; el punto E está en la semirrecta que pasa por A y C de forma que ME es perpendicular a AC. Se cumple que: $$\frac{AB}{MD}+\frac{AC}{ME}=2$$
DEMOSTRACIÓN
En primer lugar, ADME es un cuadrado porque, debido a que M es el punto medio del arco que subtiende el ángulo BAC (que es recto), los ángulos DAM=EAM=45º y, posteriormente, dado que ADME es claramente un rectángulo, los ángulos AMD=AME=45º, lo que hace que ADME sea un cuadrado. $$AB=AD-BD=MD-BD$$ $$AC=AE+EC=MD+EC$$ $$AB+AC=2MD+EC-BD$$ Los triángulos BMD y CME son iguales al ser rectángulos, MD=ME y los ángulos CME=BMD. Por tanto EC=BD. $$AB+AC=2MD \rightarrow \frac{AB}{MD}+\frac{AC}{MD}=\frac{AB}{MD}+\frac{AC}{ME}=2$$
  • Se pueden mover el centro del círculo y el punto C para dimensionar y desplazar la figura.
  • Moviendo el punto A a lo largo del semicírculo se comprueba la propiedad.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
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