lunes, 29 de agosto de 2022

Modelos de urnas

Un modelo de urnas se construye a partir de un conjunto de urnas que contengan bolas de diferentes colores. Luego se establecen unas reglas que fijan el procedimiento de añadir o retirar bolas de las urnas en función del color de la bola extraída.  Dentro de los modelos de urnas tienen una importancia especial los llamados "Modelos por Contagio", esto es, modelos donde la ocurrencia de un suceso tiene efecto de cambiar la probabilidad de las posteriores ocurrencias de ese mismo suceso. 

Una urna contiene N bolas, a rojas y b verdes; se extrae al azar una bola, se reemplaza y se añaden c bolas del mismo color y d bolas del color contrario. Se hace una nueva extracción aleatoria de la urna (que ahora contiene a+b+c+d bolas) y se repite el procedimiento sucesivamente. 

Modelo directo:

Cuando se fija el número n de repeticiones del experimento y se conoce como el  Modelo de Bernard Frieman que lo propuso en 1947. Viene definido por los siguientes parámetros:
$$(a,b,c,d,n)$$
El Modelo de Pólya es un caso particular del modelo anterior cuando el parámetro d=0, y viene definido por los parámetros:
$$(a,b,c,0,n)$$
La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es:
$$p(r_1)=\frac{a}{N}$$
La probabilidad de que las dos primera bolas extraídas sean rojas es:
$$p(r_1,r_2)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}$$
 La }de que las tres primera bolas extraídas sean rojas es:
$$p(r_1,r_2,r_3)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\frac{a+2c}{N+2c}$$
 La probabilidad de que las k primeras bolas extraídas sean rojas es:
$$p(r_1,r_2,\dots r_k)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\dots\frac{a+(k-1)c}{N+(k-1)c}=\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}$$
que es la forma simbólica y abreviada de expresar el productorio.
Si además se quiere que en las  restantes extracciones las bolas sean verdes:
$$p(r_1,r_2,\dots r_k,v_{k+1},v_{k+2}\dots v_n)=$$
$$\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}\frac{N-a}{N+kc}\frac{N-a+c}{N+(k+1)c}\dots \frac{N-a+(n-k-1)c}{N+(n-1)c}=$$
$$\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$
Como esta probabilidad no depende del orden en que aparecen las k bolas rojas y las n-k bolas verdes, la fórmula final será:
$$\binom{n}{k}\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$
Dependiendo del valor del parámetro c se tiene:
  • Si c>0 el éxito y el fracaso son contagiosos, en el sentido de que un éxito o un fracaso aumenta la probabilidad de un futuro éxito o fracaso, respectivamente.
  • Si c=0 los sucesos son independientes y no se alteran las condiciones iniciales.
  • Si c<0 el éxito disminuye la probabilidad de un nuevo éxito  y el fracaso disminuye la probabilidad de un nuevo fracaso.
Las distribuciones de probabilidad que obtienen según los valores del parámetro c son:
  • Si c=-1: Distribución hipergeométrica.
  • Si c=0: Distribución binomial.
  • Si c=1: Distribución hipergeométrica negativa.
  • Si c=a=N-a: Distribución uniforme discreta.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir elegir el número de bolas negras 'N' y bolas rojas 'R' iniciales.
  • Se pueden modificar los parámetros 'a' y 'b' de bolas de cada color que se añaden en cada iteración.
  • Se puede fijar el número de iteraciones 'k'.
  • Se muestran los valores y la gráfica de las sucesivas iteraciones. 
  • Se muestran el número de bolas negras y rojas finales y su proporción.
Descargar .XLS

viernes, 17 de junio de 2022

Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2021-2022

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 21/22.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

miércoles, 15 de junio de 2022

Selectividad Ciencias-Curso 2021-2022

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 21/22.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

viernes, 27 de mayo de 2022

En el espíritu de Wasan (II)

Podemos añadir que el wasan se desarrollo en el período Tokugawa (1603-1868) cuando el país estaba aislado de las influencias europeas. Al comienzo del período imperial (1868-1945), el país se abrió a occidente adoptando su matemática, lo que supuso el declive de las ideas utilizadas en el wasan.

Veamos otro  ejemplo sencillo que también utiliza el teorema de Pitágoras.

Una circunferencia es tangente interior a una circunferencia mayor y a su diámetro. Construir la circunferencia tangente a ambas y a ese diámetro y expresar su radio en función de la circunferencia mayor.

Sea R el radio de la circunferencia mediana de centro E y r el radio del la circunferencia buscada. En el triángulo ADE, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

$$(R+r)^2=AD^2+(R-r)^2 \rightarrow 4Rr=AD^2$$

De forma análoga, en el triángulo ABC se tiene:

$$(2R-r)^2=BC^2+r^2 \rightarrow  4R^2-4Rr=BC^2$$

Como AD=BC se tiene que:

$$4R^2-4Rr=4Rr \rightarrow 4R^2=8Rr \rightarrow R=2r$$

Entonces el centro A, del la circunferencia buscada, se puede obtener como intersección de dos circunferencias de centros C y E y de radio 3R/2.

  • Los puntos azules permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

lunes, 18 de abril de 2022

En el espíritu de Wasan (I)

Hay una palabra, wasan, que utilizan los japoneses para referirse  a sus matemáticas frente a yosan o matemáticas occidentales. Aunque el wasan se debe a varios matemáticos japoneses, los iniciadores son Kambei Mori (principio siglo 17) y Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672). Veamos un ejemplo sencillo que utiliza el teorema de Pitágoras.

Los centros A y B de dos círcunferencias iguales están en la circunferencia de la otra. Construir una circunferencia tangente a la recta AB, a la circunferencia de centro A interiormente y a la circunferencia de centro B exteriormente.

Llamamos AB=a, AF=x y GF=r (el radio de la circunferencia buscada). En el triángulo BFG, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

$$(a+r)^2=r^2+(a+x)^2$$

y , de forma análoga, en el triángulo AFG se cumple:

$$ (a-r)^2=r^2+x^2$$

Simplificando ambas ecuaciones y restando se obtiene:

$$4ar=a^2+2ax \rightarrow x+ a/2=2r$$

Significa que el lado EF del cuadrado ACDE, siendo C el punto medio del segmento AB, es un diámetro de la circunferencia buscada. Por tanto es fácil su construcción.

  • Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.