La sucesión de Connell es una sucesión de números naturales construida de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión:
$$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, \dots$$
El término general de esta sucesión viene dado por la expresión:
$$C_n=2n-\lfloor \frac{1}{2} \sqrt{8n+7}+1\rfloor$$
Para términos, suficientemente avanzados, se cumple:
$$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_n}{n}=2$$
Las subsucesiones son:
$$ S_1=\{1\}, S_2=\{2,4\}, S_3=\{5,7,9\}, S_4=\{10,12,14,16\} \dots$$
Los números triangulares (poligonales de orden 3) se obtienen con la fórmula:
$$T(n)=P_3(n)=\frac{1}{2}n(n+1) \rightarrow 1, 3, 6, 10, ...\dots$$
Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple:
$$C(T_n)=n^2$$
Stevens generalizó la sucesión de Connell, donde el término general es:
$$C_{m,r} \wedge m \geq 2 \wedge r \geq 1$$
Se parte del entero 1 que es un número congruente con 1 (mod m); le sigue el entero 1+r congruente con 2 (mod m); luego el entero 1+2r congruente con 3 (mod m) y así sucesivamente. Si m=2 y r=1 (los valores mínimos) se obtiene la sucesión de Connell. De forma más detallada se tiene su definición:
- La sucesión está formada por subsucesiones concatendas S1, S2, S3,...
- La subsucesión S1 está formada por el elemento 1.
- Si la subsucesión Sn termina en el elemento e, la subsucesión Sn+1 empieza en e+1.
- Si la subsucesión Sn contiene t términos, la subsucesión Sn+1 contiene t+r términos.
- Si la sucesión es creciente y la diferencia entre dos términos consecutivos de la misma subsucesión es m.
Sea la sucesión: C
3,2:
1;2,5,
8;9,12,15,18,
21;22,25,28,31,34,37,
40,...
Los números octogonales (poligonales de orden 8) se obtienen con la fórmula:
$$P_8(n)=n(3n-2) \rightarrow 1, 8, 21, 40, ...\dots$$
Observando los últimos números de cada subsucesión se cumple:
$$P_8(n)=C_{3,2}(n^2)$$
Sea la sucesión: C
3,1:
1;2,
5;6,9,
12;13,16,19,
22;23,26,29,32,
35...
Los números pentagonales (poligonal de orden 5) se obtienen con la fórmula:
$$P_5(n)=\frac{1}{2}n(3n-1) \rightarrow 1, 5, 12, 22, 35...\dots$$
Se observa que los últimos números de cada subsucesión son P
5(n).
Hay una fórmula general para los números poligonales:
$$P_k(n)=\frac{1}{2}n[(k-2)n-k+4]$$
que se puede comprobar su validez para los casos anteriores y obtener P
4(n):
$$P_3(n), P_5(n), P_8(n), P_4(n)=n^2$$.
También existe otra fórmula general que relaciona las sucesiones generalizadas de Connell con los número poligonales:
$$C_{m,r}[P_{r+2}(n)]=P_{m\cdot r+2}(n)$$
que se puede aplicar a dos casos anteriores:
$$C_{2,1}[P_3(n)]=P_4(n) \wedge C_{3,2}[P_4(n)]=P_8(n)$$
Para términos suficientemente avanzados, se cumple:
$$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{C_{m,r}(n)}{n}=m$$
