viernes, 6 de enero de 2023

Disección de Dudeney (II)

La forma de dividir un triángulo equilátero en cuatro polígonos (2 triángulos y 2 cuadriláteros) para con ellos construir un cuadrado también se conoce como el 'Problema del Mercero" (Haberdasher Problem). En esta nueva entrada se muestra otra forma de obtener la 'Disección de Dudeney':
  • Se construye el triángulo equilátero ABC
  • Se obtienen los puntos medios D y E de los lados AB y BC.
  • Se trazan las rectas perpendiculares al lado AC que pasan por D y E.
  • Se obtienen los puntos de intersección F y G sobre el lado AC.
  • Se traza el segmento EF.
  • Se trazan las perpendiculares desde D y G sobre el segmento EF.
  • Se obtienen los puntos de interesección H e I.
Si llamamos a al lado del triángulo, se tiene que su área es: $$A_t=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ Como ha de ser igual al área de un cuadrado: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=l^2 \rightarrow l=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}a$$
  • Moviendo los deslizadores se puede convertir el triángulo en un cuadrado.
  • Dada la medida del lado del triángulo (AB) y del segmento (GI) se puede comprobar que estos valores están de acuerdo con que el segmento es la mitad del lado del cuadrado.
Veamos por qué el segmento IG es la mitad del lado del cuadrado. Simplificamos el cálculo tomando un triángulo equilátero de lado a=2: $$A_t=A_c \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}·2^2=l^2 \rightarrow l=\sqrt[4]{3}$$
  • Se prolonga la altura AE hasta J, de forma que EJ=EB=1 y K es el punto medio de AJ
  • Se traza el círculo de centro K y radio AK: $$AK=\frac{1}{2}(AE+EJ)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$
  • Se prolonga BE hasta M y se obtiene el triángulo EMK donde: $$MK=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ $$EK=AE-AK=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2} $$
  • Aplicando el teorema de Pitágoras: $$EM=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2}=\sqrt[4]{3} $$
  • que es el tamaño del lado del cuadrado.}
  • Se traza el círculo de centro E y radio EF=EM. Y si 'alfa' es el ángulo EFC, aplicando el teorema del seno: $$sen(\alpha)=\frac{sen(60)·EC}{EF}=\frac{\sqrt{3}/2·1}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$
  • FG=EC=1 y GI es perpendicular a FE: $$GI=FG·sen(\alpha)=1·\frac{\sqrt[4]{3}}{2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$$

    jueves, 17 de noviembre de 2022

    Sucesiones de 'Somos'

    Estas sucesiones deben su nombre a su creador, el matemático americano Michael Somos.

     Con la relación de recurrencia: $$a_n=a_{n-1} \wedge a_0=1$$ se obtiene la sucesión Somos-1: $$1,1,1,1,1,\ldots$$
    Con la relación de recurrencia:
    $$a_n=\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \wedge a_0,a_1=1$$ se obtiene la sucesión Somos-2: $$1,1,1,1,1,\ldots$$
    Con la relación de recurrencia:
    $$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}}{a_{n-3}} \wedge a_0,a_1,a_2=1$$ se obtiene la sucesión Somos-3: $$1,1,1,1,1,\ldots$$
    Vemos que los elementos semilla de la sucesión son siempre 1 y que el número de éstos coincide con el orden de la sucesión y que todas la sucesiones son iguales.
    Con la relación de recurrencia:
    $$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-3}+a_n^2}{a_{n-4}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3=1$$
     se obtiene la sucesión Somos-4
    $$1,1,1,1,1,2,7,23,59,314,1529,8209,83313,620297,7869898\ldots$$
    Se observa que la sucesión crece muy rápido pero siempre con valores enteros a pesar que en la fórmula de recurrencia hay un denominador.
    Con la relación de recurrencia:
    $$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4=1$$ se obtiene la sucesión Somos-5:
    $$1,1,1,1,1,2,3,5,11,37,83,274,1217,6161,22823,165713 \ldots$$
    La sucesión Somos-6 es:
    $$1,1,1,1,1,1,3,5,9,23,75,37,421,1103,5047,41873,281527 \ldots$$
    La sucesión Somos-7 es:
    $$1,1,1,1,1,1,,3,5,9,17,41,137,769,1925,7203,340821 \ldots$$
    Vemos que estas sucesiones siguen dando siempre valores enteros. ¿Se romperá esto alguna vez y aparecerá un número fraccionario?
    Con la relación de recurrencia:
    $$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-7}+a_{n-2}a_{n-6}+a_{n-3}a_{n-5}+a_{n-4}^2a}{a_{n-8}} \wedge a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5=1$$
    se obtiene la sucesión Somos-8:
    $$1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,13,25,61,187,775,5827,14815, \ldots$$
    Calculamos el siguiente término:
    $$a_{17}=\frac{a_{16}a_{10}+a_{15}a_{11}+a_{14}a_{12}+a_{13}^2}{a_9}=$$ $$\frac{14815\cdot 13+5827 \cdot 25+775 \cdot 61+ 187^2}{7}=\frac{420514}{7}$$
    Hemos tenido que llegar a es término de Somos-8 para que aparezca un número no entero. 
     Todas estas sucesiones se deducen de una fórmula general: $$a_n=\frac{\sum_{i=1}^{\lfloor k/2 \rfloor}a_{n-i}a_{n-(k-i)}}{a_{n-k}}$$ $$a_i=1 \hspace{0.5 cm}i=0,\ldots k-1$$ El símbolo superior del sumatorio indica 'parte entera'. Las siguientes sucesiones Somos obtienen el primer término fraccionario en posiciones cada vez más avanzadas: $$k=9,10,11, 12,13,14,15, \ldots \rightarrow a_{19},a_{20},a_{22},a_{24},a_{27},a_{28},a_{30},\ldots$$

    lunes, 10 de octubre de 2022

    Teorema de Von Schoonen

    Frans van Schooten (1615-1660) fue un matemático holandés que debe su fama al desarrollo y explicación de las nuevas ideas matemáticas contenidas en La Géométrie de René Descartes que dieron origen a la geometría analítica. El teorema, que lleva su nombre y es poco conocido, describe una propiedad de los triángulos equiláteros:

       Para un triángulo equilátero ABC con un punto D en su circuncentro, los segmentos AD, BD y CD que unen D con cada uno de los vértices del triángulo, verifican que el segmento mayor es igual a la suma de los otros dos.

    • Los puntos A y B permiten cambiar la posición y el tamaño de la figura.
    • El punto D se puede desplazar por la circunferencia.
    • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
    El teorema es consecuencia del teorema de Ptolomeo para cuadriláteros inscritos en una circunferencia (cuadriláteros cíclicos): $$|BC| \cdot |DA|=|AC| \cdot |DB|+|AB| \cdot |DC| \rightarrow |DA|= |DB|+ |DC|$$ siendo |DA| el segmento mayor y ser el triángulo equilátero.

    lunes, 29 de agosto de 2022

    Modelos de urnas

    Un modelo de urnas se construye a partir de un conjunto de urnas que contengan bolas de diferentes colores. Luego se establecen unas reglas que fijan el procedimiento de añadir o retirar bolas de las urnas en función del color de la bola extraída.  Dentro de los modelos de urnas tienen una importancia especial los llamados "Modelos por Contagio", esto es, modelos donde la ocurrencia de un suceso tiene efecto de cambiar la probabilidad de las posteriores ocurrencias de ese mismo suceso. 

    Una urna contiene N bolas, a rojas y b verdes; se extrae al azar una bola, se reemplaza y se añaden c bolas del mismo color y d bolas del color contrario. Se hace una nueva extracción aleatoria de la urna (que ahora contiene a+b+c+d bolas) y se repite el procedimiento sucesivamente. 

    Modelo directo:

    Cuando se fija el número n de repeticiones del experimento y se conoce como el  Modelo de Bernard Frieman que lo propuso en 1947. Viene definido por los siguientes parámetros:
    $$(a,b,c,d,n)$$
    El Modelo de Pólya es un caso particular del modelo anterior cuando el parámetro d=0, y viene definido por los parámetros:
    $$(a,b,c,0,n)$$
    La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es:
    $$p(r_1)=\frac{a}{N}$$
    La probabilidad de que las dos primera bolas extraídas sean rojas es:
    $$p(r_1,r_2)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}$$
     La }de que las tres primera bolas extraídas sean rojas es:
    $$p(r_1,r_2,r_3)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\frac{a+2c}{N+2c}$$
     La probabilidad de que las k primeras bolas extraídas sean rojas es:
    $$p(r_1,r_2,\dots r_k)=\frac{a}{N}\frac{a+c}{N+c}\dots\frac{a+(k-1)c}{N+(k-1)c}=\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}$$
    que es la forma simbólica y abreviada de expresar el productorio.
    Si además se quiere que en las  restantes extracciones las bolas sean verdes:
    $$p(r_1,r_2,\dots r_k,v_{k+1},v_{k+2}\dots v_n)=$$
    $$\frac{a^{(k,c)}}{N^{(k,c)}}\frac{N-a}{N+kc}\frac{N-a+c}{N+(k+1)c}\dots \frac{N-a+(n-k-1)c}{N+(n-1)c}=$$
    $$\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$
    Como esta probabilidad no depende del orden en que aparecen las k bolas rojas y las n-k bolas verdes, la fórmula final será:
    $$\binom{n}{k}\frac{a^{(k,c)}(N-a)^{(n-k,c)}}{N^{(n,c)}}$$
    Dependiendo del valor del parámetro c se tiene:
    • Si c>0 el éxito y el fracaso son contagiosos, en el sentido de que un éxito o un fracaso aumenta la probabilidad de un futuro éxito o fracaso, respectivamente.
    • Si c=0 los sucesos son independientes y no se alteran las condiciones iniciales.
    • Si c<0 el éxito disminuye la probabilidad de un nuevo éxito  y el fracaso disminuye la probabilidad de un nuevo fracaso.
    Las distribuciones de probabilidad que obtienen según los valores del parámetro c son:
    • Si c=-1: Distribución hipergeométrica.
    • Si c=0: Distribución binomial.
    • Si c=1: Distribución hipergeométrica negativa.
    • Si c=a=N-a: Distribución uniforme discreta.
    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede elegir elegir el número de bolas negras 'N' y bolas rojas 'R' iniciales.
    • Se pueden modificar los parámetros 'a' y 'b' de bolas de cada color que se añaden en cada iteración.
    • Se puede fijar el número de iteraciones 'k'.
    • Se muestran los valores y la gráfica de las sucesivas iteraciones. 
    • Se muestran el número de bolas negras y rojas finales y su proporción.
    Descargar .XLS

    viernes, 17 de junio de 2022

    Selectividad Ciencias Sociales-Curso 2021-2022

    A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 21/22.

    Enunciados y soluciones de junio
    Enunciados y soluciones de julio