viernes, 16 de abril de 2021

Sucesiones de Fibonacci (II)

Vamos a volver sobre la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Esto permite obtener de forma aproximada un término muy avanzado de la sucesión. $$F_n \approx F_{n-1} \cdot\phi \rightarrow F_n \approx F_{n-2} \cdot\phi^2 \rightarrow F_n \approx \cdot\phi^n $$ Si se quiere obtener un término conociendo el anterior, basta multiplicarlo por el número de oro y redondear: $$F_6 \approx F_5\cdot 1.61803...\approx 8.09016... \rightarrow F_6=8$$ Veamos la diferencia entre la aproximación y el verdadero valor del término 1000000: $$F_{1000000} \approx\phi^{1000000} \approx 4.4 \cdot 10^{208987}$$ $$F_{1000000}= 1.95 \cdot 10^{208987}$$ Supongamos ahora que la sucesión se obtiene sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia ahora será: $$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$ Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$ la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$ ¿Tenderá a más infinito, a menos infinito, a cero o será caótica? Pues así como la sucesión de Fibonacci clásica tiende a una tasa de crecimiento, que es el número de oro, la sucesión de Fibonacci aleatoria también tiende a una tasa de crecimiento: $$1.1319882487943...$$ conocida como la constante de Wiswanath. Así que: $$R_{1000000}=1.1319882487943...^{1000000} \approx \pm 8.3 \cdot 10^{53841}$$ Otra forma de obtener la constante es: $$|R_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.13198... \wedge n\rightarrow \infty$$ Es 'casi seguro', pues existe una remota posibilidad de obtener de forma aleatoria la sucesión de Fibonacci cuya ratio tiende al número de oro. Es evidente que, siguiendo el mismo procedimiento, se puede obtener 'seguro' el número de oro: $$|F_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.61803... \wedge n\rightarrow \infty$$ Se puede considerar que sumar o restar no sea equiprobable y tenga un sesgo. Si la probabilidad de sumar es 1, se obtendrá la sucesión de Fibonacci clásica y si la probabilidad de restar es 1, entonces se obtiene la sucesión de Fibonacci oscilante con signos alternos. ¿Qué ocurre si sólo se le suma (resta) a un término la mitad del anterior? $$R_n=R_{n-1} \pm \frac{1}{2}R_{n-2}$$ Se obtiene una sucesión que tiende a cero. Pero para valores comprendidos entre 1/2 y 1 ni se anula ni tiende a infinito. Concretamente para el valor 0.70258... ni crece ni decrece. Esto significa que la tasa de crecimiento tiende, aproximadamente, a 1.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
  • Se puede obtener el valor absoluto de los los términos de la sucesión.
  • Se puede obtener el valor de la tasa de crecimiento.
  • Se puede elegir la probabilidad (m) de sumar o restar los términos.
  • Se puede elegir la proporción (s) del término que se suma o resta.
  • Se muestran las gráficas de los términos, los valores absolutos de los términos y los valores de la constante de Wiswanath.
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viernes, 19 de marzo de 2021

Los números de las mazmorras

En un castillo las torres están en la parte alta. De forma simbólica podemos considerar las potencias de potencias como las escaleras para alcanzar la torre. Las operaciones se pueden hacer de abajo a arriba (con paréntesis), o de arriba a abajo (lo correcto).

En el caso ascendente hemos obviado los paréntesis y el resultado, aunque grande, no es comparable con el obtenido en el caso descendente.
Un número  a en base b se obtiene de la siguiente manera:

$$a_b \rightarrow 123_4=(3·4^0+2·4^1+1·4^2)_{10}=27_{10}$$ Pero si hacemos una cadena de números de la forma: $$a_{b_c}$$ diremos, en forma simbólica, que las escaleras nos conducen a las mazmorras o calabozos. En imagen se muestra al amo del calabozo, personaje mítico del famoso juego de rol 'Dragones y Mazmorras'.
Veamos como se van obteniendo los diferentes resultados, a partir del número 10 e incrementando una unidad la nueva base, según se vayan realizando de abajo a arriba (lo correcto) o de arriba a abajo (con paréntesis).
Aunque parece que el orden no altera el resultado, no es cierto si seguimos avanzando en la serie. Cuando vamos de abajo a arriba se tiene:
$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 65, 87, ...$$
En cambio si vamos de arriba a abajo los valores son:
$$10, 11, 13, 16,20,30,48,76,132,420,1640,11991...$$
y el crecimiento es mucho más rápido.
Si en vez de ir aumentando desde 10 de forma descendente, se hace de forma ascendente se obtiene:
Y en este supuesto, si vamos de abajo a arriba se tiene la serie: 
$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 110,221, ...$$
En cambio, si vamos de arriba a abajo los valores son:
 $$10, 11, 13, 16, 20,28 , 45, 73, 133,348, 4943,22779, ...$$
y también el crecimiento es más rápido.

En particular, para n=35 se obtienen, respectivamente, los siguientes resultados: $$9153583, 8.6168...10^{643}, 41795936, 1.2327...10^{898}$$
Por tanto, cuando se desciende a las mazmorras del castillo, los números obtenidos, aún siendo grandes, no tienen comparación con los obtenidos cuando se sube a las torres del castillo.
Un número no entero en base b se obtiene de la siguiente forma:
$$123.45_b=1·b^2+2·b^1+3·b^0+\frac{4}{b}+\frac{5}{b^2}$$

Si lo aplicamos,de abajo a arriba, a una serie descendente con todos los valores iguales: $$a_{{a_{a}}_{...}}$$, para a=1.1 se obtienen los valores:

Si se obtienen más términos, se observa que la serie va a converger y por tanto, como la diferencia entre dos términos consecutivos será cada vez menor, se debe cumplir que:
 $$1+\frac{1}{\phi}=\phi \rightarrow \phi^2-\phi-1=0 \rightarrow \phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}=1.6180...$$ que corresponde al número de oro.
Si a>10 diverge, si a=10 siempre es 10 pero si 1<a<10 es un sistema dinámico de manera que converge a un único valor (ej. a=1.1 al número de oro), bien oscila entre dos valores ( a=1.05) o diverge (ej. a=100/99).

Basado en el paper 'Descending Dungeons and Iterated Base-Changing' de David Applegate, Marc LeBrun and N. J. A. Sloane.

domingo, 21 de febrero de 2021

Conjetura de Kollatz (II)

 La conjetura de Collatz, también conocida como la conjetura de 3n+1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa, es una conjetura de la teoría de números establecida por Lothar Collatz en 1937.

Si un número n es par se divide por 2:

$$f(n)=\frac{n}{2}$$

Si un número n es impar se multiplica por 3 y se le suma 1:

$$f(n)=3n+1$$

La conjetura dice: Si partimos de cualquier número natural y se aplican los criterios anteriores de  forma sucesiva a los números que se van obteniendo, siempre se termina en 1. Si se continuara el proceso se obtendría {4,2,1} de manera cíclica.

Aunque no existe una demostración matemática de la conjetura, se ha probado que para números menores que 2^68 se cumple. Por otro lado, de los 100.000.000 primeros números, el que genera la secuencia más larga es el 63.728.127 que necesita 947 iteraciones.

Los números que son suma de potencias de 2 con exponente par necesitan pocas iteraciones para llegar al 1. Por ejemplo:

$$2^0+2^2=1+4=5\rightarrow 5·3+1=16=2^4$$

$$2^0+2^2+2^4=1+4+16=21\rightarrow 21·3+1=64=2^6$$

$$2^0+2^2+2^4+2^6=1+4+16+64=85\rightarrow 85·3+1=256=2^8$$

Y como se llega a una potencia de 2, a partir de ahí sólo se necesitan  4, 6 y 8 iteraciones respectivamente.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir el valor inicial de la serie.
  • Se puede ir cambiando de iteración y obtener el valor correspondiente.
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viernes, 22 de enero de 2021

Teorema de Finsler-Hadwiger

Si dos cuadrados tienen un vértice común, entonces los centros de ambos cuadrados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices adyacentes al vértice común forman un cuadrado.

Los cuadrados ABCD y DEFG comparten el vértice D. H e I son los puntos medios de los segmentos AE y CG, respectivamente. El polígono IJHK es un cuadrado.

Construimos los paralelogramos congruentes DALE y DGMC y determinamos los centros J y K de los cuadrados iniciales. 

Si se efectúa un giro de 90º de centro J, el paralelogramo DALE se convierte en el DGMC. Por tanto,  los segmentos JH y JI son iguales y perpendiculares.

Analogamente, si se efectúa un giro de 90º de centro K, el paralelogramo DGMC se convierte en el DALE. Por tanto, los segmentos KH y KI. son iguales y perpendiculares. Luego el paralelogramo IJHK es un cuadrado.

  • El deslizador 'alpha' permite girar el paralelogramo DALE en el sentido de las agujas del reloj.
  • El deslizador 'beta' permite gira el paralelogramo DGMC en el sentido contrario de las agujas del reloj.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

jueves, 10 de diciembre de 2020

Dados de Sicherman

Según Martin Gardner, el coronel George Sicherman de Buffalo fue el primero en plantear y resolver la siguiente pregunta:

¿Se pueden numerar dos dados de forma diferente a la estándar de tal manera que se obtengan las mismas sumas y con las  mismas probabilidades  que en los dados estándar?
En la imagen izquierda se muestran los resultados posibles con dos dados tradicionales y en la imagen de la derecha los mismos resultados pero con dos dados numerados de forma diferente
La función generatriz del lanzamiento de un dado cúbico es el polinomio:$$f(x)=\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{6}x^5+\frac{1}{6}x^6$$ donde los exponentes indican los posibles resultados y los coeficientes su probabilidad. Se supone,  en el caso del dado, que los sucesos son equiprobables (1/6). Si se lanza dos dados se tiene:$$f^2(x)=(\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{6}x^5+\frac{1}{6}x^6)^2$$$$f^2(x)=6^{-2}(x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+$$$$6x^7+5x^8+4x^9+3x^{10}+2x^{11}+x^{12})$$
Vemos que las sumas 2 y 12 son las menos probables y en cambio la suma 7 es la más probable.

Vamos a aplicar la fórmula de las progresiones geométricas a la función generatriz del lanzamiento de un dado:
$$f(x)=\frac{1}{6}\frac{x(x^6-1)}{x-1}=\frac{1}{6}\frac{x(x^3+1)(x^3-1)}{x-1}=$$
$$\frac{1}{6}x(x^3+1)(x^2+x+1)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$
Elevando al cuadrado se obtiene la función del lanzamiento de dos dados que permite descomponerla como producto de dos funciones:
$$f^2(x)=g(x)h(x)$$
$$g(x)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2+x+1)=\frac{1}{6}(x+2x^2+2x^3+x^4)$$
que corresponde a las características del primer dado.
$$h(x)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2=$$
$$\frac{1}{6}(x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8)$$
que corresponde a las características del segundo dado.

Veamos que también se puede conseguir con dados tetraédricos:
La función generatriz del lanzamiento de un dado tetrédrico es el polinomio:
$$f(x)=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{4}x^4=\frac{1}{4}\frac{x(x^4-1)}{x-1}=$$
$$\frac{1}{4}\frac{x(x^2-1)(x^2+1)}{x-1}=\frac{1}{4}x(x+1)(x^2+1)$$
Elevando al cuadrado se obtiene la función del lanzamiento de dos dados que permite descomponerla como producto de dos funciones:
$$f^2(x)=g(x)h(x)$$
$$g(x)=\frac{1}{4}x(x^2+1)^2=\frac{1}{4}(x+2x^3+x^5)$$
que corresponde a las características del primer dado.
$$h(x)=\frac{1}{4}x(x+1)^2=\frac{1}{4}(x+2x^2+x^3)$$
que corresponde a las características del segundo dado.

Recordemos que el cubo y el tetraedro son dos de los cuerpos platónicos. ¿Es posible conseguirlo con los otros cuerpos platónicos? Es decir, con dados octaédricos, dodecaédricos e icosaédricos. En el caso del octaedro hay tres pares de soluciones:

{1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9} y {1, 2, 2, 3, 5, 6, 6, 7}
{1, 2, 5, 5, 6, 6, 9, 10} y {1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 11} y {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5}

Para el dodecaedro hay 7 soluciones y para el icosaedro se debe suponer un número más grande todavía.

domingo, 1 de noviembre de 2020

Sucesiones de Fibonacci (I)

Todos conocemos la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\;\;(n>2)$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Si ahora consideramos: $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=F_2+F_1 \quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}\;\;(n>3)$$ se obtiene la llamada sucesión de Tribonacci: $$1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,...$$ En general, se llama una sucesión k de Fibonacci: $$\{F_n^k\}_{i=1}^\infty$$ $$F_1^k=F_2^k=1 \quad F_n^k=\sum_{i=1}^kF_{n-i}^k\;\;(n>2)$$ Así se obtienen para: $$k=2, 3, 4, 5,...$$ las sucesiones de Fibonacci, Tribonaccci, Tetranacci, Pentanacci,... Para todas estas sucesiones : $$\exists \;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$$ Estos límites son la mayor solución positiva de las ecuaciones: $$x^n(2-x)=1$$ Para n=2 se tiene: $$x^2(2-x)=1 \rightarrow x^3-2x^2+1=0 \rightarrow x=\frac{1}{2}(\sqrt {5}+1) =\phi\approx 1.618$$ Para n=3 se tiene: $$x^3(2-x)=1 \rightarrow x^4-2x^3+1=0 \rightarrow $$ $$x=\frac{1}{3}[1+(19-3\sqrt{33})^\frac{1}{3}+(19+3\sqrt{33})^\frac{1}{3}] \approx 1.839$$ Vemos que la solución algebraica es cada vez más compleja y difícil de obtener. Una alternativa es considerar la función: $$f(x)=x^n(2-x)-1$$ Si se representan estas funciones podemos obtener los límites buscando las raíces mayores que la unidad de esas funciones.
En la figura se han representado las funciones para n=2,3,4. Se observa que todas tienen como raíz la unidad. Para n=2 además hay una raíz negativa; para n=3 dos raíces  complejas; para n=4 hay una negativa y dos complejas. Además se observa que los valores buscados van creciendo y tienen al número 2.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir el tipo de sucesión.
  • Se muestran los 20 primeros términos de la sucesión y del cociente entre términos consecutivos. 
  • Variando F1 y F2 se puede observar que no influyen en el límite del cociente entre términos consecutivos.
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domingo, 4 de octubre de 2020

Superpermutaciones

El 16 de septiembre de 2011, un aficionado al anime subió al foro de Internet 4chan una pregunta de matemáticas relativa a la serie de televisión de culto 'La melancolía de Haruhi Suzumiya'. La primera temporada de la serie, en la que hay viajes por el tiempo, no se emitió originalmente en orden cronológico; una emisión posterior y una versión en DVD reordenaron los episodios.

Los seguidores de la serie debatieron en Internet acerca de cuál era el mejor orden de los episodios; el mensaje colgado en 4chan se preguntaba lo siguiente: si los espectadores quisiesen ver la serie ordenada de todas las maneras posibles, ¿cuál sería la lista con menos episodios que tendrían que ver?

En menos de una hora, alguien, de forma anónima, ofreció una respuesta. No se trataba de una solución completa, sino de una cota inferior del número de episodios requerido. El argumento, válido para series con cualquier número de episodios, mostraba que para los 14 de la primera temporada de Haruhi los espectadores tendrían que ver al menos 93.844.313.611 episodios para que no se les escapase ninguna ordenación. 

¡Es el origen de las superpermutaciones!

Una superpermutación es una cadena formada a partir de n símbolos de manera que las n! permutaciones de esos símbolos aparecen al menos una vez formando un bloque continuo de n caracteres en la cadena. Por ejemplo, con dos caracteres se tiene la superpermutación:

$$ABA$$

donde están las permutaciones AB y BA
Dada una superpermutación de orden n-1, para obtener una superpermutación de orden n sigue los pasos del siguiente algoritmo:
  • Escribe las permutaciones de la última superpermutación en el orden en que aparecen.
  • Duplica cada una de ellas y coloca entre ellas el nuevo elemento.
  • Comprime el resultado utilizando todos los solapamientos posibles.

$$A$$

$$ABA$$

$$AB \vert BA$$

$$ABCAB \vert BACBA$$

$$ABCABACBA$$

$$ABC \vert BCA \vert CAB \vert BAC \vert ACB \vert CBA$$

$$ABCDABC \vert BCADBCA \vert CABDCAB\vert$$

$$\vert BAC DBAC\vert ACBDACB\vert CBADCBA$$

$$ABCDABCADBCABDCABACDBACBDACBADCBA$$

Vemos que las longitudes de las superpermutaciones son: L(1)=1, L(2)=3, L(3)=9 y L(4)=33. Siguiendo el proceso se obtendría L(5)=153. Cumplen la ecuación recursiva:

$$L(n)=L(n-1)+n! \rightarrow L(n)=1!+2!+3!+ \dots +n!$$

Para n=1,2,3,4 se obtienen las superpermutaciones más cortas y que son únicas.

¿Existe superpermutaciones de menor longitud que las que se obtienen de la fórmula anterior para cualquier valor de n?;

En 2013, Nathaniel Johnston demostró que para n>=5 las soluciones obtenidas por el algoritmo podían no ser únicas. En 2014, Ben Chafin demostró que para n=5 aunque no había superpermutaciones más cortas había 8 diferentes. Poco después Robin Houston encontro una superpermutación para n=6 con 872 caracteres, una menos que L(6)=873. En 2013 Aaron Williams propuso la fórmula:

$$L_2(n)=n!+(n-1)!+(n-2)! +(n-3)! +n-3$$

Sólo funciona para n>3 y para n<6 genera cadenas más largas que el algoritmo estándar: L2(4)=34, L2(5)=154. Ya L(6)=L2(6) pero a partir de ahí el método es cada vez más eficiente.

L2(7)=5908, 5 menos que L(7)=5915; L2(8)=46205, 28 menos que L(8)=46233; L2(9)=408966, 28 menos que L(9)=409113. En general:

$$L_2(n)-L(n)=n-3-L(n-4)$$

Sea un grafo dirigido donde los vértices son las diferentes permutaciones y las aristas tienen un peso que corresponde al número de elementos que hay que eliminar de una  permutación para obtener la siguiente. Por ejemplo, el paso de ABC a BCA supone quitar la A para ponerla al final. En cambio el paso de CAB a BAC supone quitar CA para ponerlo al final.

En el problema de las superpermutaciones queremos dar con la secuencia más corta posible de dígitos que sea una lista de todas las permutaciones, así que el objetivo consiste en 'viajar' a través de todas las permutaciones con el menor coste posible. Establecemos que el coste de cada arista es  el número de dígitos que tenemos que añadir al final de una permutación para obtener la siguiente. Houston lo convierte en el Problema del Viajante y mediante este algoritmo consigue superpermutaciones de n caracteres de longitud menor que L(n).

viernes, 4 de septiembre de 2020

Cosas de Ramanujan

Ramanujan escribió en 1913 una carta al famoso matemático G.H. Hardy de la Universidad de Cambridge con una gran cantidad de curiosas fórmulas matemáticas. Una de las más sorprendentes es la siguiente: $$1+2+3+4+5...=-1/12$$

Para "justificar" la fórmula de Ramanujan se parte de la serie:
$$S=1+x+x^2+x^3+...$$
$$Sx=x+x^2+x^3+x^4+...$$
Restando ambas expresiones y cancelando los términos iguales:
$$Sx-x=1 \rightarrow S(x)=\frac{1}{1-x}\rightarrow S(-1)=\frac{1}{2}=S_1$$
Por tanto la serie, llamada de Grandi:
$$S_1=+1-1+1-1+1-1+...=\frac{1}{2}$$
Consideramos, ahora, la serie:
$$S_2=1-2+3-4+5...$$
$$2S_2=(1-2+3-4+5...)+(1-2+3-4+5...)=$$
$$1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+(5-4)...=$$
$$1-1+1-1...=S_1\rightarrow 2S_2=S_1 \rightarrow S_2=\frac{1}{4}$$
Sea S3 la serie de los número naturales:
$$S_3-S_2=(1+2+3+4+5...)-(1-2+3-4+5...)=$$
$$4+8+12+...=4(1+2+3+4...)=4S_3 $$
$$S_3-S_2=4S_3 \rightarrow 3S_3=-\frac{1}{4} \rightarrow S_3=-\frac{1}{12}$$
Hay varios resultados que chocan con la intuición: No es lógico que dados los términos de las dos primeras series, la segunda sume la mitad que la primera y mucho menos que en la tercera, una suma de términos positivos, dé una suma pequeña y además negativa. Esto se debe al uso de las operaciones elementales con series infinitas no convergentes.

¡Las series divergentes son una invención del diablo! (N.H. Abel)

Para saber si una serie es convergente, se calcula la sucesión de sumas parciales y si tiene límite, éste es la suma. Para la serie geométrica S4:
$$S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}...=2$$
ya que la sucesión de sumas parciales es:
$$1,\frac{3}{2},\frac{7}{4},\frac{15}{8},\frac{31}{16}...\rightarrow 2$$
Es convergente porque es la serie S(1/2) donde x queda dentro del intervalo de convergencia (-1,1) ,cosa que no ocurre con S(-1).

Para S1, si calculamos la sucesión de sumas parciales vemos que es oscilante:
$$1,0,1,0,1,0...$$
Para S2, si calculamos la sucesión de sumas parciales vemos que es oscilante:
$$1,-1,2,-2,3,-3...$$
Para S3, si calculamos la sucesión de sumas parciales vemos que es divergente:
$$1,3,6,10,15...$$
¿Podemos justificar, a pesar de todo, las sumas obtenidas? Si consideramos la llamada convergencia de Cesáro: cuando converge la sucesión de medias parciales. Si una sucesión converge de forma estándar, converge modo Cesáro. El recíproco no es cierto.
Así en S4 la sucesión de medias de la sumas parciales es:
$$1,\frac{3}{4},\frac{7}{12},\frac{15}{32},\frac{31}{80}...\rightarrow 0$$
Así en S1, la sucesión de medias de la sumas parciales es:
$$1,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6}...\rightarrow \frac{1}{2}$$
En cambio, en S2, la sucesión de medias de la sumas parciales:
$$1,0,\frac{2}{3},0,\frac{3}{5},0,\frac{4}{7}...$$
es oscilante, pues los términos pares son siempre 0 y los impares tienden a 1/2.
El criterio de convergencia aplicado es el de Cesáro-1. Si sobre esta sucesión se construye, a su vez, la sucesión de medias parciales (Cesáro-2) se tiene:
$$1,\frac{1}{2},\frac{5}{9},\frac{5}{12},\frac{34}{75},\frac{34}{90}...\rightarrow \frac{1}{4}$$
Esta sucesión se aproxima muy lentamente a su límite. Por ejemplo, sólo después del término 188º (0,26003584) los términos de la sucesión difieren del límite en menos de una décima.

Finalmente vamos a considerar dos funciones muy conocidas en el campo de los números complejos debidas a  Peter G. Dirichlet y Bernhard Riemann.
La función "eta" de Dirichlet es:
$$\eta(z)=\frac{1}{1^z}-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z} -\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}\cdots$$
De acuerdo con las convergencias de Cesáro se tiene:
$$\eta(0)=1-1+1-1\cdots=\frac{1}{2} \wedge \eta(-1 )=1-2+3-4\cdots=\frac{1}{4}$$

La función "zeta" de Riemann es:
$$\zeta(z)=\frac{1}{1^z}+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z} +\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}\cdots$$
Se observa que:
$$\zeta(-1)=1+2+3+4+5\cdots$$
$$\zeta(z)-\eta(z)=\frac{2}{2^z}+\frac{2}{4^z}+\frac{2}{6^z}\cdots=\frac{2}{2^z}(1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}\cdots)=\frac{2}{2^z}\zeta(z)$$
$$\zeta(z)-\eta(z)=\frac{2}{2^z}\zeta(z)\rightarrow\zeta(z)(1-\frac{2}{2^z})=\eta(z) \rightarrow\zeta(z)=\frac{\eta(z)}{1-2^{1-z}}$$
$$\zeta(-1)=\frac{1}{4}(1-2^2) =\frac{1}{4}(-3)=-\frac{1}{12}$$
Estos resultados son verdaderos cuando las funciones de Dirichlet y Riemann se extienden por continuidad analítica para incluir valores de z para los que las series anteriores divergen. Son convergentes cuando la parte real de z es mayor que uno.
Este sorprendente resultado ha sido crítico para obtener la dimensión 26 de la teoría de cuerdas y para conocer la llamada fuerza de Casimir en electrodinámica cuántica.

jueves, 13 de agosto de 2020

¡Adivina el cumpleaños! (II)

Vamos, de nuevo, a sorprender a nuestros amigos y amigas adivinando el día del cumpleaños.  Le pedimos a alguien que multiplique el día de su cumpleaños (D) por 12 y el mes (M) del mismo por 31, sume ambos valores y nos dé el resultado (N). Esto nos permitirá adivinar la fecha de su cumpleaños.
Se trata de resolver la ecuación diofántica:
$$N=12D+31M$$
Si la fecha es el 6 de Octubre, nos dará el número:
$$12·6+31·10=382=31·12+10$$
Cogemos el resto de la división del número entre 12 y lo multiplicamos por 7:
$$7·10=70=12·5+10$$
y el resto de la división de este número entre 12 nos da el mes:  Octubre.
Si en la ecuación inicial, hacemos M=10 se tiene el día del mes:
$$D=\frac{382-31·10}{12}=6$$
¿Qué ocurre si el cumpleaños es en el mes de Diciembre?
 Sea la fecha el 25 de Diciembre:
$$12·25+31·12=672=56·12$$
Se obtiene un múltiplo de 12 (la división entre 12 es exacta) y el mes es Diciembre.
El día se calcula de forma análoga:
$$D=\frac{672-31·12}{12}=25$$
EXPLICACIÓN:
$$N=12D+31M=12D+24M +7M=12(D+2M)+7M$$
y entonces  N y 7M tienen el mismo resto al dividir por 12.
Si multiplicamos ambos números por 7 se  obtienen 7N y 49M que seguirán teniendo el mismo resto al dividir por 12. Como:
$$49M=48M+M=12(4M)+M$$
y entonces 7N y M tendrán también el mismo resto al dividir por 12. Por tanto el resto de dividir 7N entre 12 será M. Pero como 7M es el primer resto, basta obtener el resto de 7·7M=49M para obtener el valor de M. Si el resto de 7M=0, eso significa que M=12 y el mes es Diciembre. Para calcular el día basta sustituir M en la ecuación:
$$D=\frac{N-31M}{12}$$
Hemos utilizado  la congruencia de números:

Se dice que a y b son congruentes módulo m si al dividir ambos números por m se obtiene el mismo resto y se expresa: $$a\equiv b\mod{12}$$.
Por tanto, las relaciones anteriores se pueden expresar de la forma:
$$N\equiv 7M\mod{12} \rightarrow 7N\equiv 49M\mod{12}$$
$$49M\equiv M\mod{12}$$
Veamos que la solución es única. Si hubiera dos soluciones se tendría:
$$N=12D_1+31M_1 \wedge N=12D_2+31M_2$$
y restando miembro a miembro:
$$12(D_1-D_2)+31(M_1-M_2)=0 $$
De donde se deduce que el número:
$$12(D_1-D_2)$$
debería ser un múltiplo de  31 pero como D1-D2 es necesariamente menor que  31, sólo podría dividirse por 31 cuando D1=D2, es decir si las soluciones coinciden y se llega a una contradicción (Demostración por "reducción al absurdo").

viernes, 17 de julio de 2020

Selectividad ciencias sociales-Curso 19/20

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de julio y de septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 19/20.

Enunciados y soluciones de julio
Enunciados y soluciones de septiembre