lunes, 27 de septiembre de 2021

Los números de Lah y de Hal

Los números de Lah fueron descubiertos, en 1954, por el matemático esloveno Ivo Lah (1896-1979)  y son los coeficientes que permiten expresar factoriales crecientes en función de factoriales decrecientes.
Un factorial creciente es:
$$x^{(n)}=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)$$
Un factorial decreciente es:
$$x_{(n)}=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$$
Así, por ejemplo, se tiene que:
$$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=6x+6x(x-1)+1x(x-1)(x-2)$$
$$x^{(3)}=6x_{(1)}+6x_{(2)}+1x_{(3)}$$
Los números de Lah se denotan como L(n,k) donde n es el grado del polinomio creciente y k los grados de los polinomios decrecientes. Así, en el ejemplo, los números de Lah son:
$$L(3,1)=6, L(3,2)=6, L(3,3)=1$$
y por tanto:
$$x^{(3)}=L(3,1)x_{(1)}+L(3,2)x_{(2)}+L(3,3)x_{(3)}$$
La fórmula general para obtener los factoriales crecientes en función de los factoriales decrecientes es:
$$x^{(n)}=\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x_{(k)}$$
y la fórmula para obtener los números de Lah directamente es:
$$L(n,k)=\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$
Hay una fórmula de recurrencia para obtener, a partir de L(n,1)=n!,  los demás términos del polinomio dado:
$$L(n,k+1)=\frac{n-k}{k(k+1)}L(n,k) \rightarrow L(3,2)=\frac{3-1}{1·2}L(3,1)=6$$
Hay otra fórmula de recurrencia para obtener nuevos números al variar n:
$$L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)$$
$$L(n,0)=0 \wedge L(n,k)=0 \wedge k>n$$
Por ejemplo, para obtener los números de Lah para el polinomio de cuarto grado a partir de los números del polinomio de grado tres:
$$L(4,1)=(3+1)L(3,1)+L(3,0)=4·6+0=24$$
$$L(4,2)=(3+2)L(3,2)+L(3,1)=5·6+6=36$$
$$L(4,1)=(3+3)L(3,3)+L(3,2)=6·1+6=12$$
$$L(4,1)=(3+4)L(3,4)+L(3,3)=4·0+1=1$$
Por otra parte llamaremos números de Hal a los coeficientes que permiten expresar factoriales decrecientes en función de factoriales crecientes.
$$x_3{(3)}=x(x-1)(x-2)=6x-6x(x+1)+1x(x+1)(x+2)$$
$$x_{(3)}=6x^{(1)}-6x^{(2)}+1x^{(3)}$$
Así, en el ejemplo, los números de Hal son:
$$H(3,1)=6, H(3,2)=-6, H(3,3)=1$$
y por tanto:
$$x_{(3)}=H(3,1)x^{(1)}+H(3,2)x^{(2)}+H(3,3)x^{(3)}$$
La fórmula de recurrencia es:
$$H(n+1,k)=(n+k)H(n,k)-H(n,k-1)$$
$$H(n,0)=0 \wedge H(n,k)=0 \wedge k>n$$
La fórmula cerrada es:
$$H(n,k)=(-1)^k \left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1 \end{array} \right) \frac{n!}{k!}$$

lunes, 2 de agosto de 2021

El problema de la suma cuadrada

Elige un número entero N. Dados todos los números enteros de 1 a N, ¿se pueden ordenar de manera que cada par adyacente sume un número cuadrado? Empecemos con un conjunto pequeño de números no consecutivos, que se pueden ordenar para conseguir el objetivo: $$\{1,3,6,8,10\} \rightarrow \{8,1,3,6,10\}\rightarrow \{9,4,9,16\}=\{3^2,2^2,3^2,4^2\}$$
No hay forma de encontrar una solucíón sin probar todas las opciones. Es un problema de los llamados tipo NP-complejo. La mejor forma de visualizar estas relaciones es mediante un grafo donde los números son los vértices y las aristas conectan dos vértices cuya suma sea un número cuadrado. El problema tiene solución si hay un camino hamiltoniano, es decir, si podemos pasar una sola vez por todos los vértices.


Se observa que se pueden enlazar hasta 17 números, pero que al añadir el número 18 no es posible:
$$\{17,8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9,16\}$$
$$\{25,9,16,25,16,9,16,25,16,9,16,25,16,9,16,25\}$$
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
  • Si añaden los números 19, 20, 21 y 22 sigue sin funcionar, pero si añade el número 23 si se consigue un camino hamiltoniano y por tanto hay una solución:
    $$\{18,7,9,16,20,5,11,14,2,23,13,12,4,21,15,10,6,19,17,8,1,3,22\}$$
    $$\{25,16,25,36,25,16,25,16,25,36,25,16,25,36,25,16,25,36,25,9,4,25\}$$
    Si añadimos el número 24 vuelve a fallar pero desde el número 25 en adelante siempre hay una solución.

    jueves, 24 de junio de 2021

    Selectividad ciencias sociales-Curso 20/21

    A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 20/21.

    Enunciados y soluciones de junio
    Enunciados y soluciones de julio

    domingo, 20 de junio de 2021

    Selectividad Ciencias-Curso 20/21

    A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 20/21.

    Enunciados y soluciones de junio
    Enunciados y soluciones de julio

    miércoles, 19 de mayo de 2021

    Sucesiones de Fibonacci (III)

    Vimos una variante de la sucesión de Fibonacci que se obtenía sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia era: $$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$ Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$ la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$ Ahora vamos a considerar series no aleatorias y repetidas de + y -, es decir, con un patrón fijo. Un ciclo de longitud n es: $$\sigma_n=(s_1,s_2,...,s_n) \wedge s_i\in\{+,-\} \wedge 1 \leq i \leq n$$ $$-,-,+,-,-,+,-,-,+,... \rightarrow 1,1,0,-1,-1,4,5,1,6,7,1,...$$ $$+,+,-,+,+,-,+,+,-,... \rightarrow 1,1,2,3,1,4,5,1,6,7,1,...$$ corresponde a los ciclos: $$ \sigma_3=(-,-,+) \wedge \sigma_3=(+,+,-)$$ Los resultados son muy diferentes dependiendo de la situación de esos símbolos en la cadena y de la longitud de la cadena de + y - . Si el ciclo tiene longitud n, el número de posibilidades es VR2,n.
    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
    • Se pueden analizar las series con ciclos de 2, 3, 4 y 5 elementos.
    • Se pueden modificar los signosn + y - de las series con ciclos de 2, 3, 4 y 5 elementos.
    • Se muestran las gráficas de los términos de la sucesión.
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    viernes, 16 de abril de 2021

    Sucesiones de Fibonacci (II)

    Vamos a volver sobre la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Esto permite obtener de forma aproximada un término muy avanzado de la sucesión. $$F_n \approx F_{n-1} \cdot\phi \rightarrow F_n \approx F_{n-2} \cdot\phi^2 \rightarrow F_n \approx \cdot\phi^n $$ Si se quiere obtener un término conociendo el anterior, basta multiplicarlo por el número de oro y redondear: $$F_6 \approx F_5\cdot 1.61803...\approx 8.09016... \rightarrow F_6=8$$ Veamos la diferencia entre la aproximación y el verdadero valor del término 1000000: $$F_{1000000} \approx\phi^{1000000} \approx 4.4 \cdot 10^{208987}$$ $$F_{1000000}= 1.95 \cdot 10^{208987}$$ Supongamos ahora que la sucesión se obtiene sumando (o restando) a un término el anterior de forma aleatoria con probabilidad 1/2: cara (+) o cruz (-). La fórmula de recurrencia ahora será: $$R_{n}=R_{n-1} \pm R_{n-2}$$ Si la secuencia aleatoria fuera: $$+,+,-,-,+,+,-,+,-,-,...$$ la sucesión sería: $$1,1,2,3,1,-2,-1,-3,-2,-5,-3,2,...$$ ¿Tenderá a más infinito, a menos infinito, a cero o será caótica? Pues así como la sucesión de Fibonacci clásica tiende a una tasa de crecimiento, que es el número de oro, la sucesión de Fibonacci aleatoria también tiende a una tasa de crecimiento: $$1.1319882487943...$$ conocida como la constante de Wiswanath. Así que: $$R_{1000000}=1.1319882487943...^{1000000} \approx \pm 8.3 \cdot 10^{53841}$$ Otra forma de obtener la constante es: $$|R_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.13198... \wedge n\rightarrow \infty$$ Es 'casi seguro', pues existe una remota posibilidad de obtener de forma aleatoria la sucesión de Fibonacci cuya ratio tiende al número de oro. Es evidente que, siguiendo el mismo procedimiento, se puede obtener 'seguro' el número de oro: $$|F_n|^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1.61803... \wedge n\rightarrow \infty$$ Se puede considerar que sumar o restar no sea equiprobable y tenga un sesgo. Si la probabilidad de sumar es 1, se obtendrá la sucesión de Fibonacci clásica y si la probabilidad de restar es 1, entonces se obtiene la sucesión de Fibonacci oscilante con signos alternos. ¿Qué ocurre si sólo se le suma (resta) a un término la mitad del anterior? $$R_n=R_{n-1} \pm \frac{1}{2}R_{n-2}$$ Se obtiene una sucesión que tiende a cero. Pero para valores comprendidos entre 1/2 y 1 ni se anula ni tiende a infinito. Concretamente para el valor 0.70258... ni crece ni decrece. Esto significa que la tasa de crecimiento tiende, aproximadamente, a 1.
    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede obtener el valor de los los términos de la sucesión.
    • Se puede obtener el valor absoluto de los los términos de la sucesión.
    • Se puede obtener el valor de la tasa de crecimiento.
    • Se puede elegir la probabilidad (m) de sumar o restar los términos.
    • Se puede elegir la proporción (s) del término que se suma o resta.
    • Se muestran las gráficas de los términos, los valores absolutos de los términos y los valores de la constante de Wiswanath.
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