Para Condorcet, matemático, filósofo y político francés del siglo XVIII, el objetivo de un buen gobierno es tomar las decisiones que sean mejores para la sociedad. Sea un grupo de n personas que necesitan decidir si una proposición es verdadera o falsa. Por ejemplo, para un jurado si el acusado es culpable o inocente.
Supongamos que cada votante tiene una probabilidad p de acertar la proposición. Se consideran a los votantes competentes si p>0.5. Se desea tomar una decisión por mayoría y que sea correcta. ¿Qué ocurre según sea el valor de p?
$$p > 0.5$$
La probabilidad de que la decisión sea correcta es mayor si aumenta el número de votantes.
En el límite, cuando n tiende a infinito, la probabilidad de que la decisión sea la correcta tiende a 1. Es mejor tomar la opinión de muchos que de uno.
¡Cuantos más competentes mejor!
$$p < 0.5$$
La probabilidad de que la decisión sea correcta es menor si aumenta el número de votantes. En el límite tiende a 0. Es mejor tomar la opinión de uno.
¡Cuantos más incompetentes peor!
La probabilidad de acertar m o más votantes es:
$$f(p)=\sum_{k=m}^{n} \binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
Se asume que la competencia o incompetencia de cada votante es la misma. Simplificación que no afecta a las conclusiones. Sin embargo, como la gente intercambia opiniones, la independencia de cada votante es un criterio muy fuerte y no muy realista.
- Se puede modificar el número de votantes n y la probabilidad de acertar cada votante p
- Se puede modificar el porcentaje de votos afirmativos necesarios q para aceptar la propuesta (para que la mayoría pueda ser cualificada).
- Se muestran la probabilidad de que se acepte la propuesta f(p) en función de p, el número de votantes necesarios para ello m y la gráfica correspondiente.
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