miércoles, 30 de octubre de 2024

Incendio forestal (II)

En el modelo se considera un terreno rectangular de 20X40 puntos en los que se pueden plantar hasta 800 árboles entre pinos (P) y robles (M). Se considera que el fuego no afecta apenas a los robles pero sí a los pinos. El simulador permite elegir el porcentaje de pinos y robles plantados que son situados en el terreno de forma aleatoria. Puede haber varios focos de fuego que se sitúan de manera aleatoria en el terreno. El incendio se propaga en cualquier dirección de forma que un pino ardiendo prende a los pinos cercanos pero no afecta a los robles. En un momento determinado el fuego se detiene al no poder propagarse más.

¡Una reforestación combinada con árboles resistentes al fuego reduce el impacto de un incendio!
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • El botón 'iniciar' limpia de árboles el terreno.
  • Las primeras flechas permiten elegir el porcentaje de pinos plantados.
  • Las segundas flechas permiten elegir el porcentaje de robles plantados.
  • El botón 'plantar' muestra los árboles reales plantados y su porcentaje.
  • El botón 'fuego' pone cada vez un punto de inicio del fuego.
  • El botón 'incendio' muestra el resultado del incendio, los pinos quemados y su porcentaje.
Descargar .XLS

domingo, 29 de septiembre de 2024

Problema de Thanos Kalogerakis (2017)

BC es el diámetro de un circulo; M es el punto medio del arco inferior BC; A es un punto en el arco superior BC. El punto D está en la semirrecta que pasa por A y B de forma que MD es perpendicular a AB; el punto E está en la semirrecta que pasa por A y C de forma que ME es perpendicular a AC. Se cumple que: $$\frac{AB}{MD}+\frac{AC}{ME}=2$$
DEMOSTRACIÓN
En primer lugar, ADME es un cuadrado porque, debido a que M es el punto medio del arco que subtiende el ángulo BAC (que es recto), los ángulos DAM=EAM=45º y, posteriormente, dado que ADME es claramente un rectángulo, los ángulos AMD=AME=45º, lo que hace que ADME sea un cuadrado. $$AB=AD-BD=MD-BD$$ $$AC=AE+EC=MD+EC$$ $$AB+AC=2MD+EC-BD$$ Los triángulos BMD y CME son iguales al ser rectángulos, MD=ME y los ángulos CME=BMD. Por tanto EC=BD. $$AB+AC=2MD \rightarrow \frac{AB}{MD}+\frac{AC}{MD}=\frac{AB}{MD}+\frac{AC}{ME}=2$$
  • Se pueden mover el centro del círculo y el punto C para dimensionar y desplazar la figura.
  • Moviendo el punto A a lo largo del semicírculo se comprueba la propiedad.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
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viernes, 30 de agosto de 2024

Incendio forestal (I)

En el modelo se considera un terreno rectangular de 20X40 puntos en los que se pueden plantar hasta 800 pinos (P). El simulador permite elegir el porcentaje de pinos plantados que son situados en el terreno de forma aleatoria. El foco del fuego se produce en la primera fila del rectángulo, donde se puede elegir el porcentaje de pinos afectados (Q) . El incendio se propaga de arriba a abajo, debido a la dirección del viento, de forma que un pino ardiendo prende a los pinos cercanos situados más abajo. En un momento determinado el fuego se detiene al no poder propagarse más.

¡Una reforestación excesiva y sin criterio puede ser contraproducente!
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • El botón 'iniciar' limpia de árboles el terreno.
  • Las primeras flechas permiten elegir el porcentaje de árboles plantados.
  • El botón 'plantar' muestra los árboles reales plantados y su porcentaje.
  • Las segundas flechas permiten elegir el porcentaje de árboles que inician el incendio.
  • El botón 'quemar' muestra los árboles reales que inician el fuego y su porcentaje.
  • El botón 'incendio' muestra el resultado del incendio, los árboles quemados y su porcentaje.
Descargar .XLS

sábado, 15 de junio de 2024

Selectividad Ciencias Sociales-2023/2024

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 23/24.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

Selectividad Ciencias-Curso 2023-2024

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 23/24.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

viernes, 31 de mayo de 2024

Juego de dados Passage

Passage es uno de los juegos más antiguos de apuestas con dados. Se dice que fue utilizado por los verdugos en la crucifición de Jesús de Nazaret para repartirse sus vestiduras. 

  Cuando llegaron al lugar llamado Gólgota, le dieron a beber vino mezclado con hiel; él lo probó, pero no quiso beberlo. Después de crucificarlo, se repartieron su ropa echándola a suertes y luego se sentaron a custodiarlo. San Mateo XXVII 35.

En francés se llamaba Passe-dix  y en alemán Paschen. El juego se menciona en Los tres mosqueteros de Alejandro Dumas (1844) y también aparece en ediciones de Gargantúa y Pantagruel de Rabelais, al menos desde 1884. En Inglaterra, el juego fue específicamente prohibido por la Ley de Juegos de 1739. Francis Grose, en A Classical Dictionary of the Vulgar Tongue, indica que en 1785 Passage era un 'juego de campamento' jugado entre soldados, y que la persona encargada de llevar a cabo el juego en todo el ejército era llamada el head cully of the pass o el passage bank.


En la Figura  se muestra el cuadro obra  de Daniel Nikolaus Chodowiecki (aquí firmó 'Huquier',y la dirección de la publicación también es falsa). 

En su turno, un jugador lanza tres dados hasta conseguir un doble. Si la suma de los dados es superior a 10, gana y en caso contrario pierde y es eliminado. Si hay apuestas el jugador que hace de banca se encarga de cobrar y pagar las mismas.
Hay un 50% de probabilidad de obtener un doble en tres dados; de esas tiradas válidas, la mitad están  por encima de diez, por lo que el juego es justo. Las apuestas ganadoras se pagan 1:1, y por tanto la banca no tiene ventaja.
La inclusión del requisito que sacar un doble sólo sirve para aumentar la tensión del juego, ya que los resultados son los mismos sin él (la probabilidad de sacar más de diez en tres dados no cambia).

Vassilios Hombas (2012) ofrece una generalización de este juego a cualquier número de dados, calculando los `puntos de pase' (el máximo número de puntos para perder) en cada caso. Hay que tener en cuenta que este cálculo ignora el requisito de dobles, lo que puede alterar el juego para números de dados distintos de tres.

¿Cuántas tiradas diferentes son posibles? ¿Cuántas tiradas diferentes hay con doble? ¿Cuántas de ellas son ganadoras? ¿Cuántas son ganadores sin tener en cuenta dobles? Comparar las probabilidades de ganar en cada caso. Indicar 'puntos de pase' para 1, 2, 3, ... n dados. 


domingo, 28 de abril de 2024

Juego de dados Hubbub

El juego originalmente no tenía nombre. Se ganó el nombre de Hubbub porque los colonos europeos del siglo XVIII que presenciaron el juego escucharon a los jugadores decir 'hub, hub, hub' mientras jugaban:

They have a kind of dice game which are plum stones painted, which they cast in a tray with a mighty noise and sweating.- Roger Williams, 1643.

Hubbub es un juego originario de Arapaho en Oklahoma. Utilizan cinco dados planos que decoran por una de las caras para representar un equilibrio entre lo positivo y lo negativo de la vida. Se suelen decorar con motivos estrellados. En el centro se colocan 21 sticks o varitas que se van retirando cada jugador a lo largo del juego. En la Figura se muestran tanto los dados como las varitas. El juego Bowl and Dice es una versión más complicada de este juego.







Los jugadores lanzan los dados y según los resultados obtenidos retiran los sticks que les correspondan. Una vez retirados los 21 sticks el jugador que tenga más es el ganandor.

Los resultados posibles son los siguientes:
  • 5 decorados ó 5 sin decorar: 3 puntos (sticks).
  • 4 decorados y 1 sin decorar o al contrario: 1 punto (stick).
  • 3 decorados y 2 sin decorar o al contrario: 0 puntos (sticks).
En la Figura se muestra un resultado con puntuación nula:
¿Qué probabilidad hay de obetenr 3 puntos en una tirada? ¿Y de obtener 1 punto? ¿Y ninguno? ¿Es razonable la asignación de puntos?

viernes, 22 de marzo de 2024

Puntos y segmentos

Presentamos unos juegos donde hay que unir los puntos de una red rectangular con el menor número de segmentos rectilíneos.

Une los 4 puntos con 3 segmentos rectilíneos y los 9 puntos con 4 segmentos rectilíneos de la figura, sin levantar el lápiz del papel.
Une los 16 puntos con 6 segmentos rectilíneos y los 25 puntos con 8 segmentos rectilíneos de la figura, sin levantar el lápiz del papel.
Une los 36 puntos con 10 segmentos rectilíneos y los 49 puntos con 12 segmentos rectilíneos de la figura, sin levantar el lápiz del papel.
Soluciones

martes, 30 de enero de 2024

Teorema de Conway

Sea un triángulo cualquiera ABC con incentro O y cuya circunferencia inscrita es tangente a los lados en Q, R y S. Los segmentos del mismo color son iguales: CR=CQ (azul ), AS=AR (verde) y BS=BQ (rojo) por construcción.
  • Se prolonga el segmento AB hasta F, siendo AF=AP (azul)+PF (rojo).
  • Se prolonga el segmento AB hasta I, siendo BG=BL (verde)+LI (azul).
  • Se prolonga el segmento BC hasta H, siendo BH=BK (verde)+KH (azul).
  • Se prolonga el segmento BC hasta D, siendo CD=CN (rojo)+ND (verde).
  • Se prolonga el segmento CA hasta G, siendo AG=AJ (azul)+JG (rojo).
  • Se prolonga el segmento CA hasta E, siendo CE=CM (rojo)+ME (verde).
Se observa que los siguientes segmentos son iguales por estar formados por tres subsegmentos de diferente color:
  • SF=AS (verde)+AP (azul)+PS (rojo)
  • SI=SB (rojo)+BL (verde)+LI (azul)
  • QD=QC (azul)+CN (rojo)+ND (verde)
  • QH=QB(rojo)+BK (verde)+KH (azul)
  • RE=RC (azul)+CM (rojo)+ME (verde)
  • RG=RA (verde)+AJ (azul)+JG (rojo)
Los triángulos OSF, OSI, ORG, ORE, OQD y OQH son rectángulos y como tienen los mismos catetos, también tienen la misma hipotenusa que es el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D, E, F, G H e I. Estos puntos cumplen las condiciones que impone el teorema de Conway (longitudes prolongadas de los lados desde un vértice iguales a la longitud del lado opuesto). Queda probado el teorema de Conway y además que el centro de esa circunferencia es el incentro del triángulo.



  • Se pueden mover los vértices del triángulo.
  • Se puede ver la construcción 'paso a paso'.
Generalización del teorema (Francisco Javier García Capitán):

En el triángulo ABC se sitúa en su interior un punto arbitrario D . Se traza la recta que pasa por el lado AB y su paralela por el vértice opuesto C. Se traza el segmento que pasa por A y D y que corta  en E y el segmento que pasa por B y D que corta en F. Se traza el segmento paralelo al lado AC desde F que corta en G y el segmento paralelo al lado BC que corta en H. Los puntos G y H son dos de los seis puntos buscados. Repitiendo, de forma análoga el proceso, a partir de los lados BC y AC respectivamente se obtendrían los cuatro puntos restantes. Por estos seis puntos pasa una elipse que se convierte en cÍrculo cuando el punto variable D coincide con el incentro del triángulo.
  • Se pueden mover los vértices del triángulo.
  • Se puede desplazar el punto hueco y al situarlo sobre el incentro se obtiene una circunferencia.