Dados no transitivos (II)

La idea de los dados no transitivos existe desde principios de la década de 1970. Aquí hay otro famoso juego con cuatro dados no transitivos conocido como 'Efron Dice' e inventado por el estadístico estadounidense Brad Efron (1938-).

En la imagen se muestra el diagrama de árbol donde el dado azul gana al dado naranja y el grafo que muestra que el juego no es trasitivo.

$$p(R>V)=p(3)·p(2)=1·\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(2)·p(1)+p(6)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ $$p(A>N)=p(1)·p(0)+p(5)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(N>R)=p(4)=\frac{2}{3}$$

Vemos que dado rojo gana al verde, el verde al azul, el azul al naranja y el naranja al rojo y todos con las misma probabilidad 2/3. Si nos fijamos en los dados opuestos en el grafo, se puede comprobar que el dado verde gana al dado naranja con probabilidad 5/9 pero los dados rojo y azul tienen la misma probabilidad de ganar. Se dice que el exitoso inversor estadounidense Warren Buffett es fanático de dados no transitivos. Cuando desafió a su amigo Bill Gates con un juego de dados Efron, Bill comenzó a sospechar e insistió para que Warren eligiera primero.

Otro conjunto de cinco dados no transitivos conocido como 'Grime dice' fue creado por el matemático James Grime (1980-) que colabora en la plataforma de videos de divulgación matemática Numberphile .

$$p(R>V)=p(2)·p(1)+p(7)=\frac{1}{2}·\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$ $$p(V>A)=p(1)·p(0)+p(6)=\frac{1}{3}·\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{13}{18}$$ $$p(A>N)=p(5)·p(4)=\frac{5}{6}·\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$ $$p(N>M)=p(4)·p(3)+p(9)=\frac{5}{6}·\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{13}{18}$$ $$p(M>R)=p(3)·p(2)+p(8)=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

En la imagen el grafo de la izquierda muestra el ciclo, indicando que el juego no es transitivo, y el grafo de la derecha muestra un ciclo alternativo.

$$p(N>R)=p(R>A)=\frac{7}{12}$$ $$p(A>M)=p(M>V)=p(V>N)=\frac{5}{9}$$ La primera 'cadena' de dados es más fuerte que la segunda. En el primer caso la probabilidad media de ganar es más del 69% mientras en el segundo caso no llega al 57%.
Unos dados curiosos llevan en sus caras los siguientes números: 0, 1, pi, la constante de Euler, la proporción áurea y el conjugado de la proporción áurea.

¿Estos dados forman un conjunto no transitivo? Con dos dados, ¿el orden se invierte como antes?