Teorema de Stewart

Si en un triángulo ABC se traza una ceviana (segmento que une el vértice A con el lado opuesto BC), el punto de intersección D determina dos segmentos de longitudes m y n. Si d es la longitud de la ceviana y a, b, c las longitudes de los lados del triángulo, se cumple el teorema de Stewart:
$$d^2·a=n·b^2+m·c^2-n·m·a$$
Si d es la longitud de la mediana, entonces se verifica el teorema de Apolonio o teorema de la mediana:
$$b^2+c^2=\frac{a^2}{2}+2·d^2$$

Teorema de Routh (I)

En un triángulo cualquiera se trazan tres cevianas (segmento que une un vértice con el lado opuesto). Estas cevianas se cortan en tres puntos que determinan un nuevo triángulo. El producto de las razones de los segmentos determinados en cada lado por las cevianas se mantiene constante, al modificar el tríángulo inicial, siempre que no se desplacen los puntos determinados en los lados por las cevianas.

Se puede modificar el triángulo exterior desplazando los vértices A, B y C y observar la propiedad.
Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Puntos de Brocard

En un triángulo ABC se construyen las circunferencias siguientes:

• Pasa por A y es tangente a BC en B
• Pasa por B y es tangente a CA en C
• Pasa por C y es tangente a AB en A

Las tres circunferencias pasan por un mismo punto M llamado punto positivo de Brocard.

Análogamente se construyen otras tres circunferencias:

• Pasa por A y es tangente a BC en C
• Pasa por B y es tangente a CA en A
• Pasa por C y es tangente a AB en B

Las tres circunferencias pasan por un mismo punto N llamado punto negativo de Brocard.

Además si se trazan las cuerdas que unen los puntos M  y N con los vértices del triángulo, se cumple la siguiente igualdad de ángulos:

ACM=BAM=CBM=ABN=BCN=CAN

Estas cuerdas reciben el nombre de primeros y segundos rayos de Brocard, respectivamente.

Teorema de la mariposa

Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene del aspecto final de la construcción que exige el enunciado.

Si el punto E es el punto medio de la cuerda CD de una circunferencia y FG y HI son cuerdas que pasan por E, entonces el punto E es también el punto medio del segmento JK, donde J y K son los puntos de intersección de las cuerdas FI y HG respectivamente, con la cuerda CD.

Selectividad de ciencias sociales - Curso 13/14

A continuación aparecen los enunciados y soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 13/14.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio