Método de Kochanski

Es un método geométrico para obtener un valor aproximado del número pi:

• Se dibuja una circunferencia de radio unitario.
• Se inscribe un triángulo equilátero ABC.
• Se traza la mediatriz del lado AB, que intersecta en I y en H.
• Se traza la paralela al lado AB por I, que intersecta a la prolongación del lado AC en D.
• A partir de este punto se transportan el radio unitario 3 veces sobre la recta: DE=EF=FG=1.
• El segmento GH mide pi.

Demostración: $$GH^2=HI^2+\left (3-DI \right) ^2$$
$$CJ=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\frac{DI}{AJ}=\frac{CI}{CJ} \rightarrow \frac{DI}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \rightarrow DI=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$GH=\sqrt{2^2+\left(3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=3.1415$$

Punto de Vecten (II)

Dado un  triángulo se construye un cuadrado interior sobre cada lado. Las rectas que pasan por los centros de los cuadrados y por los vértices opuestos a los lados sobre los que están construidos, se cortan en el 2º punto de Vecten.

Punto de Vecten (I)

Dado un triángulo se construye un cuadrado exterior sobre cada lado.  Los segmentos que unen los centros de los cuadrados con los vértices opuestos a los lados sobre los que están construidos, se cortan en el 1º punto de Vecten.

Teorema de Ceva

Dado un  triángulo ABC y los puntos D, E y F sobre los lados AB, BC y CA respectivamente, los segme4ntos AD, BF y CD son concurrentes si y sólo si los segmentos determinados sobre los lados cumplen la relación:
$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{EB}{EC} \cdot \frac{FC}{FA}=1$$

El teorema del jurado de Condorcet

Para Condorcet, matemático, filósofo y político francés del siglo XVIII, el objetivo de un buen gobierno es tomar las decisiones que sean mejores para la sociedad. Sea un grupo de n personas que necesitan decidir si una proposición es verdadera o falsa. Por ejemplo, para un jurado si el acusado es culpable o inocente.

Supongamos que cada votante tiene una probabilidad p de acertar la proposición. Se consideran a los votantes competentes si p>0.5. Se desea tomar una decisión por mayoría y que sea correcta. ¿Qué ocurre según sea el valor de p?

$$p > 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es mayor si aumenta el número de votantes. En el límite, cuando n tiende a infinito, la probabilidad de que la decisión sea la correcta tiende a 1. Es mejor tomar la opinión de muchos que de uno. 

¡Cuantos más competentes mejor! 

$$p < 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es menor si aumenta el número de votantes. En el límite tiende a 0. Es mejor tomar la opinión de uno. 

¡Cuantos más incompetentes peor!

La probabilidad de acertar m o más votantes es: $$f(p)=\sum_{k=m}^{n} \binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ Se asume que la competencia o incompetencia de cada votante es la misma. Simplificación que no afecta a las conclusiones. Sin embargo, como la gente intercambia opiniones, la independencia de cada votante es un criterio muy fuerte y no muy realista.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede modificar el número de votantes n y la probabilidad de acertar cada votante p 
• Se puede modificar el porcentaje de votos afirmativos necesarios q para aceptar la propuesta  (para que la mayoría pueda ser cualificada).
• Se muestran la probabilidad de que se acepte la propuesta f(p) en función de p, el número de votantes necesarios para ello m y la gráfica correspondiente.

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