La cicloide (II)

El problema de la Braquistócrona fue el motivo de una amarga contienda entre los hermanos Johann y Jakob Bernoulli.

Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.

El problema lo propuso Johann sugiriendo que la respuesta correspondía a una curva muy conocida. No se trataba de encontrar puntos donde una curva tiene un máximo o u mínimo, sino que la incógnita buscada es una curva que debe minimizar cierta relación.

La solución era la conocida curva cicloide y fue obtenida de forma distinta por los hermanos Bernoulli. Jakob lo resolvió utilizando un método que sería el inicio del cálculo de variaciones, pero fue la solución de Johann la más genial utilizando de manera combinada la geometría y la física.

Sigue la construcción "paso a paso" y con dos deslizadores podrás modificar el ángulo de inclinación de la trayectoria recta y el tamaño de la cicloide. Desactivando la casilla de control podrás ocultar los valores numéricos de velocidad y energías de ambos móviles. El deslizador de tiempo permite observar los valores anteriores para cada posición de los móviles.  Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Veamos la explicación de Johann:

Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2gh}$$ El principio de Fermat dice la luz viaja de un punto a otro en el menor tiempo posible. Si atraviesa dos medios distintos se cumple la ley de la refracción: $$\frac{sen \theta_1}{v_1}=\frac{sen \theta_2}{v_2}=k$$

Supongamos un medio óptico formado por finas láminas diferentes:
$$\frac{sen\theta_i}{v_i}=k$$

En nuestro problema se cumple: $$\frac{sen\theta}{\sqrt{2gh}}=k$$ siendo el ángulo el que forma la tangente a la curva con la vertical en cada instante.

Derivando las ecuaciones de la cicloide: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
$$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
$$tg\theta=\frac{dx}{dy}=\frac{1-cos\alpha}{-sen\alpha}=-tg\frac{\alpha}{2}$$
$$\theta=|\frac{\alpha}{2}|$$
$$v=\sqrt{2gr(1-cos\alpha)}=2\sqrt{gr}sen\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{sen\theta}{v}=\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{2sen\frac{\alpha}{2}\sqrt{gr}}=\frac{1}{2\sqrt{gr}}$$
que es una constante y por tanto cumple la ley de Fermat.

La cicloide (I)

Los matemáticos de la antigüedad consideraban a la cicloide la más bella de las curvas, llegándola a llamar la Helena de la Geometría.
La cicloide es la curva que se obtiene cuando se hace rodar, sin deslizar, un disco sobre una superficie horizontal. La trayectoria que describe un punto situado en el borde del disco es la curva llamada cicloide. Por cada giro completo del disco se obtiene un arco de cicloide.
Mersenne la definió de forma rigurosa y Galileo le puso el nombre (en griego significa circular).

ECUACIONES

El punto P de una circunferencia de radio R está situado inicialmente en el origen de coordendas. La circunferencia gira sin deslizamiento y el punto P describe la cicloide al dar la circunferencia una vuelta completa. Las cordenadas del punto P son:

$$x=OA=OB-AB=PB-PD=R\alpha-Rsen\alpha=R(\alpha-sen\alpha)$$ $$y=PA=CB-CD=R-Rcos\alpha=R(1-cos\alpha)$$
LONGITUD $$\frac{dx}{d\alpha}=x'=R(1-cos\alpha)$$ $$\frac{dy}{d\alpha}=y'=Rsen\alpha$$ $$L=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,\mathrm{d}\alpha=R\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-cos\alpha}\,\mathrm{d}\alpha=$$ $$=2R\int_0^{2\pi}sen\frac{\alpha}{2}\,\mathrm{d}\alpha=8R$$

¡La longitud de la cicloide es 8 veces el radio del círculo!

ÁREA
$$L=\int_0^{2\pi R}y\,\mathrm{d}x=R^2\int_0^{2\pi}(1-cos\alpha)^2\,\mathrm{d}\alpha=3\pi R^2$$

¡El área bajo la cicloide es 3 veces el área del círculo que da lugar a ella!

Galileo pensó que no debía ser un número tan redondo y conjeturó que debía ser pi. Roberval y su discípulo Torricelli demostraron los valores de la longitud y del área correctos en el siglo XVII.

Sigue la construcción "paso a paso" y con los deslizadores puedes modificar el radio de la circunferencia y ver la construcción de la cicloide. Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Teorema de Salmon

Dada una circunferencia, hacemos confluir tres cuerdas en un mismo punto. Los puntos medios de estos segmentos son los centros de tres circunferencias que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección obtenidos siempre está alineados.

Este teorema geométrico debe su nombre a George Salmon, matemático y teólogo irlandés del siglo XIX.

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Sistema depredador-presa

La depredación es un tipo de interacción biológica en la que un individuo de una especie animal (depredador) caza a otro individuo (presa) para subsistir.

Los depredadores controlan así el número de individuos de la especie presa, pero a su vez las presas, según su abundancia, controlan el número de individuos de la especie depredadora.

Esta interacción entre depredadores y presa y su evolución en el tiempo fue analizada matemáticamente a través de las ecuaciones de Lotka y Volterra.

En el siguiente modelo se añade una variable que representa la acción humana a través de la caza tanto de presas como de depredadores.

Teorema de Napoleón

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge y creando un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado.

Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.
Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión.

Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si  los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos:

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo GHI, conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Análogamente, si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros interiores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo MNO, conocido como triángulo de Napoleón interior.

Además, el área del triángulo incial ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos exterior e interior.

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