Modelo de población de Leslie

Cuando la variación de una población se realiza en función del tiempo, obtenemos un proceso (continuo o discreto) que recibe el nombre de dinámica de la población. El objetivo de la dinámica de poblaciones es estudiar los cambios numéricos que sufren las poblaciones, determinar sus causas, predecir su comportamiento y analizar sus consecuencias. Vamos a presentar el modelo de dinámica de Leslie, en honor del autor del método, el fisiólogo Patrick Holt Leslie (1900-1974).

Parece claro que a tasa de mortalidad será mayor entre los individuos de mayor edad que entre los más jóvenes. Asimismo a tasa de fecundidad depende también de la edad. Con carácter general, podemos suponer que la población consiste enteramente de hembras. En realidad, para la mayoría de las especies la cantidad de machos es prácticamente la misma que la de hembras. Por otra parte, en lo que respecta a las cuestiones reproductivas, el papel determinante es jugado por las hembras y no por los machos. Vamos a plantear un modelo en el que se tienen en cuenta características particulares de cada uno de los individuos. Según estas características los agruparemos en clases que sean homogéneas a efectos reproductivos y de supervivencia.

Supongamos que la edad máxima alcanzada por una hembra de una población sea L años y que esta población la dividimos en n clases de edades. Cada clase, es evidente que tendrá L/n años de duración. Por lo tanto las clases serán:

$$[ 0\frac{L}{n}), [\frac{L}{n},\frac{2L}{n}),\cdots, [\frac{(n-1)L}{n},L) $$

Supongamos que en el momento inicial (t = 0) conocemos el número de hembras que hay en cada uno de los intervalos. Llamamos xi(0) al número de hembras existentes en el intervalo i-ésimo en el momento inicial. Podemos construir el vector de la distribución inicial de las edades: 

$$x(0)=(x_1(0),x_2(0), \cdots x_n(0))$$

Al pasar el tiempo, por causas biológicas (nacimientos, envejecimiento, muertes), el número de hembras que hay en cada una de las clases se va modificando. Lo que pretendemos es ver como evoluciona el vector x(0) de distribución inicial con el tiempo. La manera más fácil de proceder, para estudiar el proceso de envejecimiento es hacer observaciones de la población en tiempos discretos haciendo que la duración entre dos tiempos consecutivos de observación sea igual a la duración de los intervalos de edad:

$$ t_0=0, t_1=\frac{L}{n}, t_2=\frac{2L}{n}\cdots , t_k=\frac{kL}{n}, \cdots$$

Bajo esta hipótesis todas las hembras de la clase i+1 en el tiempo tk+1, estaban en la clase i en el tiempo tk (suponiendo que no existen muertes ni nacimientos). Se designa:

• ai es el promedio de hijas que tiene una hembra mientras permanece en la clase i. Tiene que haber al menos un ai>0, es decir, una clase fértil.
• bi es la fracción de hembras de la clase i que sobreviven y pasan a la clase i+1. El valor de bi no puede ser cero, salvo en la última clase, pues entonces nadie sobreviviría a su clase. 

El vector general de distribución de edades para un tiempo tk es: $$x(k)=(x_1(k),x_2(k),\cdots,x_n(k))$$ El número de hembras en la primera clase en una etapa dada, dependerá de las nacidas en la etapa anterior:

$$x_1(k)=a_1x_1(k-1)+a_2x_2(k-1)+\cdots a_nx_n(k-1)$$ El número de hembras en la clase i+1 en una etapa dada será el número de supervivientes de la clase anterior: $$x_{i+1}(k)=b_ix_i(k-1)$$

Vectorialmente se expresará: $$x(k)=Lx(k-1)$$ siendo L la matriz de Leslie: $$L=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1} & a_{n-1} \\ b_1 &0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 &b_2 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & b_{n-1}& 0\end{bmatrix}$$
De donde se deduce: $$x(k)=L^kx(0)$$ y por tanto conocida la distribución inicial y la matriz de Leslie se puede conocer la distribución de la población en cualquier etapa.

En la matriz de Leslie se obtiene un único valor propio positivo si hay al menos dos clases consecutivas fértiles (sucederá siempre que se consideren los intervalos suficientemente pequeños). El autovalor o valor propio debe cumplir:
$$Lv_1=\lambda_1 v_1$$ Para ese valor propio, se puede obtener su vector propio asociado:
$$v_1=(1,\frac{b_1}{\lambda_1},\frac{b_1b_2}{\lambda_1^2},\frac{b_1b_2b_3}{\lambda_1^3},\cdots,\frac{b_1b_2b_3\cdots b_{n-1}}{\lambda_1^{n-1}})$$  ¿Cuál será el comportamiento de la población a largo plazo? Se cumplirá: $$x(k)\simeq\lambda_1^k x(0)\rightarrow x(k)\simeq\lambda_1 x(k-1)$$

• Cada distribución es proporcional a la distribución anterior, siendo esa constante el valor propio positivo de la matriz de Leslie.
• La proporción de hembras en cada clase se mantiene constante según el vector propio.
• La población a largo plazo:
• Crece si el valor propio es mayor que uno.
• La población decrece si el valor propio es menor que uno.
• La población se estabiliza si el valor propio es uno.

Veamos un ejemplo: $$L=\begin{bmatrix} 0 & 4 & 3\\ \frac{1}{2} &0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\end{bmatrix}$$ Se calcula el valor propio: $$|L-\lambda I|=0 \rightarrow \lambda^3-2\lambda- \frac{3}{8}=0 \rightarrow \lambda_1=\frac{3}{2}$$ Se obtiene el vector propio: $$v_1=(1,\frac{b_1}{\lambda_1},\frac{b_1b_2}{\lambda^2})=(1,\frac{1}{3},\frac{1}{18})$$ El porcentaje de aumento de la población en cada etapa tiende a estabilizarse en un 50%: $$x(k)\simeq\frac{3}{2}x(k-1)$$ La proporción de hembras en cada clase se estabiliza en los porcentajes dados por el vector propio: $$x(k)\simeq (\frac{3}{2})^k(1,\frac{1}{3},\frac{1}{18})=(\frac{3}{2})^k(72\%,24\%,4\%)$$

Descargar .XLS

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Con las flechas se elige la población inicial en cada  clase de edad.
• Con las flechas se elige el número de descendientes en cada  clase de edad.
• Con las flechas se elige la tasa de supervivencia en las dos primeras clases de edad.
• Con la flecha se elige el período temporal de cada etapa.
• Se observa numéricamente la evolución de la distribución de clases.
• Se observa numéricamente la evolución del crecimiento de las clases.
• Se muestra la gráfica de la evolución de la distribución de clases.
• Se muestra gráficamente la evolución del crecimiento de las clases.

Selectividad ciencias sociales-Curso 18/19

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 16/17.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad ciencias-Curso 18/19

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Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Aritmética Lunar (II)

En la Aritmética Lunar también se pueden construir cuadrados mágicos: la suma de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales deben valer lo mismo.

El cuadrado mágico que se muestra es el más pequeño posible en cualquier base mayor que 2.

También se puede obtener un cuadrado mágico en base 2:

Un número lunar m se dice que domina a un número lunar n si los dígitos de m son mayores que los dígitos correspondientes de n. Esto es equivalente a que m+n=m. Por ejemplo 375 domina a 172. Si B es la base de numeración, se indica de la forma siguiente:

$$m \gg_B n, 375\gg_B 172 $$
En los dos cuadrados mágicos, se observa, que hay una entrada que domina a todas las demás (22 y 1111). Se observa que si una entrada domina a todas las demás, su valor debe coincidir con las sumas del cuadrado mágico.

¿Hay cuadrados mágicos en los que la entrada mayor no coincide con el valor de las sumas?. La respuesta es sí y se muestra en el cuadrado mágico de la izquierda donde la mayor entrada es 43 y las sumas son 44.

Además como en la suma de la la Aritmética Lunar no hay 'acarreos', cualquier cuadrado formado por un subconjunto de dígitos de un cuadrado mágico también lo es, como se observa en el cuadrado mágico de la derecha formado únicamente por las decenas del anterior.

Por tanto, cualquier cuadrado mágico se puede representar como suma de cuadrados mágicos como se muestra a continuación.

Los dos primeros cuadrados mágicos representan los únicos casos de entradas mínimas usando un único dígito (no se consideran las rotaciones y reflexiones). El de la derecha no se considera como tal pues si se elimina una entrada (poner 0) sigue siendo mágico, cosa que no ocurre con los otros dos.

También se pueden formar cuadrados mágicos de potencias. El cuadrado mágico de la derecha parece ser el más pequeño posible. El primero tiene como sumas 48·48=448 y el segundo 24·24=224, es decir, que las sumas  en ambos cuadrados mágicos son también potencia de 2.

Si un número a tiene las cifras  en orden creciente de izquierda a derecha: $$a=a_k\dots_1a_0 \wedge a_{i+1} \leq a_i$$ entonces la potencia de orden n del número a se obtiene repitiendo n veces cada cifra excepto la última: $$a^n=\overbrace{a_ka_k\dots a_k} \dots \overbrace{a_1 a_1\dots a_1}a_0$$ En el cuadrado mágico siguiente se ha aplicado este método para la tercera potencia:

Vemos que la potencia obtenida es también un cuadrado mágico. Cualquier potencia dará un cuadrado mágico y por tanto existirán infinitos cuadrados mágicos de esas potencias. Existen otras familias de potencias como la que se muestra a continuación:

El siguiente es un cuadrado mágico de cuadrados en base 2. Su sumas son 1001·1001 y es el más pequeño posible en dicha base:

El siguiente cuadrado mágico de cuadrados no da una suma que sea a su vez un cuadrado, como en los casos anteriores. Las sumas valen 439 que además es un número primo lunar.

Existen cuadrados mágicos de cuadrados cuya suma es también un cuadrado mágico de cuadrados. Forman tripletas pitagóricas y en estos cuadrados se muestran nueve. Cumplen el Teorema de Pitágoras en la Aritmética Lunar.

Aritmética Lunar (I)

Marc LeBrun introdujo la llamada Aritmética Lunar, antes conocida como Aritmética `triste' (`Dismal' Arithmetic). En esta Aritmética sólo se puede sumar y multiplicar. 

La regla para sumar dos dígitos es: $$a+b=max(a,b)$$ La regla para multiplicar dos dígitos es: $$a \times b=min(a,b)$$ A continuación se muestra el resultado de un par de sumas y multiplicaciones:

El resultado de los cuadrados de los primeros números es:

Se sabe que un número primo es aquel que sólo puede obtenerse como producto de sí mismo por el elemento unidad (el uno). Pero en esta aritmética el elemento unidad es el nueve. En las multiplicaciones siguientes se observa que ni el 1 ni el 7 pueden ser el elemento unidad. Sin embargo se ve que cualquier número multiplicado por el 9 da de resultado ese número.

A continuación se muestran los primeros números primos:

Vamos a probar que el número 109 es primo. Supongamos que no lo es, entonces deberá expresarse como producto de dos números ab y cd. El dígito a (o el c) debe valer 1 para poder conseguir que el producto empiece por 1. Además los dígitos b y d deben valer 9 para que el producto termine en 9. Al terminar la multiplicación se observa que c debería valer 0, pero eso obliga a que el producto no empiece por 1. Por contradicción se concluye que el número 109 es primo.

 

Existen infinitos números primos en la Aritmética Lunar. Para saber más cosas de los primos lunares en La Enciclopedia de Secuencias de Enteros.