Juego de ruleta: La Boule

Este juego fue inventado en el siglo XVIII en Francia como una variante del denominado La Hoca. Consiste en una versión reducida de la ruleta tradicional.

Consta de 18 casiilas numeradas del 1 al 9 en dos series, una superior y otra inferior. Los jugadores pueden apostar de manera múltiple: negro (rojo), impar (par), falta (pasa), superior (inferior) o individual a un número cualquiera. El 5 actúa como el 0 de la ruleta tradicional, pero se admite como apuesta individual.

La esperanza de ganancia para el apostante es de -11.11%, y por tanto, muy ventajosa para la banca lo que hace que cada vez sea menos frecuente su presencia en los casinos, salvo en algunos  de Francia.

El aparato de Galton

El aparato de Galton es un mecanismo en el que una bola choca con un tope y se desplaza a izquierda o derecha, choca nuevamente y se desplaza de nuevo a izquierda o derecha y así sucesivamente hasta caer en un casillero final.

Para determinar el número esperado de bolas que caen en cada casillero, se puede considerar que al chocar cada bola se duplica, y una se va por la izquierda y otra por la derecha. Se obtienen así los números del triángulo de Pascal.

En cada nivel se obtienen los números combinatorios:

$$\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right),k=0,1,...n$$

Si consideramos que p es la probabilidad de ir a la derecha (éxito) y q=1-p la de ir a la izquierda (fracaso), la probabilidad esperada en cada casillero es:
$$P(k)=\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) p^kq^{n-k}$$ que sería la probabilidad de k éxitos en un aparato de Galton de n niveles.

La distribución binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta. Da la probabilidad  de k de éxitos en n pruebas de Bernoulli independientes.

Un ensayo de Bernoulli sólo tiene dos resultados posibles: éxito con una probabilidad p o fracaso con una probabilidad q=1-p.

La función de probabilidad es: $$f(x)=P(X=x)=\left( \begin{array}{c} n\\ x \end{array} \right) p^xq^{n-x}$$ siendo la media y la varianza de la distribución: $$E[X]=np \wedge V[X]=npq$$ Si n=1 se obtiene la media y la varianza de la distribución de Bernoulli.

Flores en polares

El concepto abstracto de sistema de coordenadas polares se debe a Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.

En el periódico Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar.

Dentro de las muchas  curvas que se pueden representar utilizando las coordenadas polares, están las flores rosáceas. Sus ecuaciones generales son las siguientes:

Flores I: $$\rho=a \cdot cos(n\theta)+b$$
Flores II: $$\rho=a \cdot  |cos(n\theta)|+b$$
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Círculo de Taylor

En un triángulo se trazan las tres alturas. Cada una de ellas, corta a un lado del triángulo en un punto llamado pie de la altura. Desde cada uno de esos puntos se trazan  dos  segmentos perpendiculares sobre los otros lados. Los seis puntos obtenidos pertenecen a una circunferencia que encierra el llamado círculo de Taylor.

Estos puntos también se pueden obtener como intersecciones de las rectas paralelas a las alturas respectivas desde los pies de las otras dos.

El círculo de Taylor, es un caso particular de un círculo de Tucker: Aquel cuya circunferencia pasa por los seis puntos determinados sobre los lados de un triángulo por tres segmentos antiparalelos entre sí.

Rectas antiparalelas: Son dos rectas que cortan a otras dos cualesquiera, de modo que los ángulos que forma una de aquellas con otra de éstas sean iguales a los que forman las otras dos.