Supongamos que un jugador de tenis (Rafa Nadal) tiene una probabilidad p de ganar un point a su contrincante (Roger Federer). La probabilidad de que pierda será q, siendo p+q=1. ¿Qué probabilidad tendrá de ganar un game? ¿Y un set? ¿Y un match?
En una serie de tablas se muestran las posibles evoluciones de un game, un tie-break, un set con tie-break, un set sin tie-break y un match.
Las celdas con números en rojo corresponden a momentos de ventaja de Nadal, las celdas con números en azul indican situaciones de ventaja de Federer y las que tienen los números en negro indican situaciones de empate. Las celdas con los números en negrita indican situación de ganador de alguno de ellos.
Probabilidad de ganar un game:
Los números de la tabla recogen las distintas posibilidades de alcanzar un tanteo concreto. La celda con el 2 corresponde al tanteo 15-15 e indica que se puede alcanzar ese resultado de dos formas distintas: 15-0 ->15-15 o bien 0-15 -> 15-15. Se observa que cada celda es la suma de la celda de su izquierda y de su celda superior (siempre que existan ambas). Sabemos que en tenis se han de conseguir dos puntos de diferencia para adjudicarse el juego y conseguir al menos cuatro points.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un point:
$$p(game)=p^4+4p^4q+10p^4q^2+^20p^5q^3+40p^6q^3+80p^7q^3+\cdots$$
$$p(game)=p^4+4p^4q+10p^4q^2(1+2pq+4p^2q^2+8p^3q^3+\cdots)$$
$$p(game)=p^4+4p^4q+\frac{10p^4q^2}{1-2pq}$$
Probabilidad de ganar un tie-break:
Un tie-break es una forma de terminar un game de manera más rápida. Si se llega a un empate a 6 games, se juega un último game de desempate que se consigue con 7 points con diferencia de dos. En caso contrario se siguen jugando points hasta conseguir esa diferencia.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un point:
$$p(tie-break)=p^7+7p^7q+28p^7q^2+84p^7q^3+210p^7q^4+\frac{462p^7q^5}{1-2pq}$$
Probabilidad de ganar un set sin tie-break:
Un set se consigue con 6 games y una diferencia de dos. En caso de no conseguir esa diferencia con 6 games, se debe continuar hasta conseguirla.
$$p(set)=p^6+6p^6q+21p^6q^2+56p^6q^3+\frac{126p^6q^4}{1-2pq}$$
Probabilidad de ganar un set con tie-break:
Un set se consigue con 6 games y una diferencia de dos. En caso de llegar a empate a 6 games se juega un tie-break.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un game y un tie-break:
$$p(set)=p^6+6p^q+21p^6q^2+56p^6q^3+126p^6q^4+252p^7q^5+504p^6q^6P$$
siendo P la probabilidad de tie-break.
Probabilidad de ganar un match:
Un match se consigue ganando 3 sets. En caso de empate a 2 sets el último se juega con tie-break. Hay competiciones en que es suficiente ganar 2 sets y el set de desempate también es con tie-break.
$$p(match)=p^3+3p^3q+6p^2q^2P$$
siendo P la probabilidad de set con tie-break.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
- Se puede elegir la probabilidad de ganar un point.
- Se obtienen las probabilidades de ganar un game, un set sin tie-break, un tie-break, un set con tie-break y un match.
- Las gráficas representan las probabilidades anteriores en función de la probabilidad de ganar un point.
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| Descargar .XLS |
- Basado en el capítulo El tenista ebrio del libro Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática de Ian Stewart.
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