jueves, 23 de diciembre de 2010

El número de oro (III)

8. Desde la antigüedad se sabe que algunas partes del cuerpo humano guardan la proporción áurea. Por ejemplo en el dedo, entre la distancia entre la 1ª y la 2ª falange y entre la 2ª y la 3ª. Hacia 1850 Zeysing constató estadísticamente que el ombligo divide al cuerpo humano según la razón áurea. Comprobar lo anterior en vuestro propio cuerpo y anotar los resultados.

9. A partir de la definición del número de oro, justificar $$\phi=1+\frac{1}{\phi}$$. Esta expresión permite obtener el número Φ de otra manera. Consideremos la expresión recurrente $$\phi_{i+1}=1+\frac{1}{\phi_i}$$ y tomemos como primer valor la unidad. Este método lo utilizó Girard en el siglo XVII, pero la demostración de la convergencia lo hizo Simpson 100 años después.
  • Observar que la sucesión obtenida converge a Φ y hacer la representación gráfica del proceso.
  • Repetir el proceso con otra expresión recurrente que también converja a phi.
  • Intentar aproximar m utilizando el método anterior.

10. Si m2 = m-1 . ¿Cuánto valdrán m3, m4, m5?. Si Φ = 1 + m . ¿Cuánto vale Φ2, Φ3, Φ4?. Escribir una fórmula general para cada caso.

11. La sucesión de restos módulo 2 de la sucesión de Fibonacci es  1, 1, 0, 1 ,1 ,0..., por tanto periódica. Encontrar las sucesiones de restos módulo 3, 4 5 y 6 y verificar que si n es el módulo, el período no excede de n2+1.

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