Algoritmo de Moessner

El algoritmo, propuesto por el matemático Alfred Moessner en 1951 (aunque el resultado sería demostrado por Oskar Perrone al año siguiente), permite obtener las sucesiones de potencias de números naturales (como por ejemplo, la sucesión de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25,…) a partir de la sencilla sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5,...). Este método, de gran belleza, aparece en el libro The book of numbers de los matemáticos John H. Conway y Richard K. Guy.

En la serie de los números naturales eliminamos los múltiplos de 2 (dejamos un número y eliminamos el siguiente), y con los números resultantes se hacen las sumas acumulativas, obteniendo los cuadrados de los números naturales.

Ahora eliminamos los múltiplos de 3 (dejamos dos números y eliminamos el siguiente). Con los números resultantes dejamos uno y eliminamos el siguiente. Finalmente, con los números resultantes se hacen las sumas acumulativas, obteniendo los cubos de los números naturales.

Ahora eliminamos los múltiplos de 4 (dejamos tres números y eliminamos el siguiente). Con los números resultantes dejamos dos y eliminamos el siguiente.Con los números resultantes dejamos uno y eliminamos el siguiente. Finalmente, con los números resultantes se hacen las sumas acumulativas, obteniendo las cuartas potencias de los números naturales. Y así sucesivamente...

Sin embargo, este tipo de construcción se puede aplicar a situaciones más generales aún. Por ejemplo, ¿qué ocurriría, en la construcción de Moessner, si en lugar de mantener fija la distancia entre los números eliminados, se fuese incrementando dicha distancia. Un primer caso podría ser que se incremente en una posición la distancia anterior entre los números eliminados. En este caso obtendríamos los factoriales de los números naturales.

Proporción cordobesa

En uno de los triángulos formados por dos radios de la circunferencia circunscrita al octógono y uno de sus lados se aplica el teorema del coseno: $$L^2=R^2+R^2-2·R·R·cos45^o =2R^2(1-\sqrt 2/2)=R^2(2-\sqrt2) $$ $$L=R\sqrt(2-\sqrt2) \rightarrow c=\frac{R}{L}=\frac{1}{\sqrt(2-\sqrt2)}=1.306562964 \ldots$$ La proporción obtenida entre el radio y el lado se denomina proporción cordobesa y la constante irracional de proporcionalidad se llama número cordobés.

Se pueden mover dos vértices del octógono inicial para modificar su posición y tamaño. También se pueden mover dos vértices del rectángulo cordobés para girarlo y desplazarlo. Se puede observar la construcción 'paso a paso'.

El número cordobés es una de las soluciones de la ecuación bicuadrada: $$2x^4-4x^2+1=0 \rightarrow 2z^2-4z+1 $$ $$z=\frac{4+\sqrt 8}{4}=1+\frac{1}{\sqrt 2}\rightarrow x=\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt 2}}$$ $$c=\frac{1}{\sqrt(2-\sqrt2)}=\sqrt{\frac{1}{2-\sqrt 2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt 2}{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt 2}}$$

La proporción cordobesa representa la proporción humana frente a la proporción divina, representada por el número áureo. La armonía humana se materializa en la relación entre la distancia de la cabeza hasta el ombligo y la distancia desde el ombligo a los pies. En la figura de la izquierda se observa la proporción cordobesa, mientras que en la figura de la derecha se muestra la proporción divina. Los actores griegos se calzaban los 'coturnos' para parecer más altos y así ajustarse a la proporción divina.

La proporción cordobesa, recibe su nombre al ser encontrada por primera vez en la geometría de la Mezquita de Córdoba, pero está presente también en otros muchos edificios, no necesariamente de la Córdoba Califal.

Fue Rafael de la Hoz Arderius (1924-2000), arquitecto cordobés, quien la introdujo en 1973  e hizo un estudio exhaustivo de su presencia. Su interés por la misma  le llevó a utilizarla en muchos de sus edificios proyectados.

Punto de Spieker

En un triángulo cualquiera se traza el triángulo medial, el que tiene como vértices los puntos medios de sus lados. Obtenemos su incentro que es el denominado punto de Spieker (S). En el triángulo inicial se obtienen su incentro (I), su circuncentro (C) y su ortocentro (O). El punto simétrico del (I) respecto del circuncentro (C) es un punto (B). Pues bien, este punto (B) es también el simétrico del ortocentro (C) respecto del punto de Spieker.

Se pueden mover los vértices del triángulo inicial para comprobar la propiedad.  Se puede observar la construcción 'paso a paso'.

Números de Catalan

Fue el gran Leonhard Euler (1707-1783) la primera persona en calcular los denominados números de Catalan. Le comunicó los primeros valores a Johann Segner (1704-1777), pero no le dijo la técnica que utilizó para calcularlos. Segner obtiene estos números, por recurrencia,  al estudiar las posibles triangulación de un polígono.

Una triángulación de un polígono es una forma de descomponerlo como una unión disjunta de triángulos cuyos vértices coinciden con los del polígono. Es fácil ver que para triangular un polígono de n+2 vértices se necesitan n triángulos y viceversa.

Sea Cn el número de maneras de descomponer un polígono utilizando exactamente en triángulos. Como se observa en la imagen: $$C_1=1, C_2=2, C_3=5, C_4=14 $$

La fórmula de recurrencia, dada por Signer en 1758, para obtener los números de catalán es: $$C_{n+1}=C_0·C_n+C_1·C_{n-1}+C_2·C_{n-2}+\cdots+C_{n-1}·C_1+C_n·C_0$$ siendo $$C_0=1$$
Demostración por inducción:

Si sabemos triangular los polígonos de n+2 lados, entonces podemos triangular un polígono de n+3 lados.

El polígono tiene los vértices 1,2,3,...n+3 y escogemos un 'lado favorito': el lado de vértices 1 y n+3, que pertenece a un triángulo Ti de la triangulación, siendo i el tercer vértice que pertenece al conjunto {2,3,...n+2}.

En la figura se observa que sería el triángulo de vértices 1,4 y 8.

En general, si se elimina ese triángulo Ti, resultan dos polígonos:

• Vértices 1,2,...i que puede ser triangulado de Ci-2 maneras.
• Vértices i,i+1,,...n+3 que puede ser triangulado de Cn-i+2 maneras.

Ambas elecciones son independientes, por tanto la manera de triangular el polígono que contiene al triángulo Ti es:
$$C_{i-2}·C_{n-i+2}$$
Al variar Ti sobre todos los valores posibles {2,3...n+2} se obtiene la fórmula.

Alrededor de un siglo después Eugène Catalan (1814-1894), volverá a calcular el número de maneras de triangular un polígono. En su memoria, esos números  llevan  su nombre.

Es una fórmula que evita la recurrencia y permite obtener directamente los números:

$$C_n=\frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n+1)!·n!} \wedge n\geq 0$$
A partir de esta fórmula se puede obtener una fórmula de recurrencia más sencilla:
$$\frac{C_{n+1}}{C_n}=\frac{(2n+2)!}{(n+2)!(n+1)!}:\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}=\frac{2(2n+1)}{n+2}$$
$$C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{C_n}\wedge n\geq 1$$

Existen infinidad de situaciones en las que aparecen los números de Catalan. Una de ellas es el número de caminos monótonos crecientes a través de una retícula de tamaño nxn y que no atraviesen la diagonal:

Las aplicaciones sucesivas de un operador binario pueden representarse con un árbol binario. 

En este caso, C_n es el número de árboles binarios de n + 1 hojas, en los que cada nodo tiene cero o dos hijos:

En su página de internet Richard Stanley, nos reta con 95 familias de objetos enumerados por los números de Catalan.

Selectividad ciencias-Curso 17/18

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 17/18.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio