Aunque parezca paradójico, hay juegos en los que las ganancias disminuyen cuando aumenta la probabilidad de ganar en cada turno. Se denominan donkey games o 'juegos burro'. Christian van den Broeck y Bart Cleuren, físicos del Centro Universitario de Limburg, en Bélgica, estudian este tipo de juegos.Veamos uno de ellos:
Una moneda tiene una probabilidad p de salir cara (C) y una probabilidad 1-p de salir cruz (X). Se realizan series de lanzamientos. En cada turno si sale cara se gana un euro, si sale cruz se pierde un euro y si sale lo mismo que en la tirada anterior se cancela la ganancia o la pérdida. Por ejemplo, en la secuencia XCCC la ganancia será cero. Si p=0.5 el juego es justo y la ganancia media es cero. En cambio si p aumenta el jugador termina perdiendo y si p disminuye el jugador termina ganando.
Supongamos muchos jugadores participando simultáneamente y observamos un turno determinado: Sea N0 el número de jugadores sin ganancia ni pérdida, N1 con ganancia N2 con pérdida en un turno determinado.
En el turno siguiente, el número de jugadores sin ganancia ni pérdida será: $$N_0'=pN_1+(1-p)N_2$$ pues sale cara y había cara o sale cruz y había cruz.
El número de jugadores con ganancia será: $$N_1'=pN_0+pN_2$$ pues sale cara y no había nada o sale cara y había cruz.
El número de jugadores con pérdida será:
$$N_2'=(1-p)N_0+(1-p)N_1$$ pues sale cruz y no había nada o sale cruz y había cara.
Las soluciones estacionarias se obtienen cuando, después de muchas iteraciones, los nuevos valores coinciden con los anteriores. Resolviendo el sistema:
$$\begin{eqnarray*} N_0 = pN_1+(1-p)N_2 \\ N_1=pN_0+pN_2 \\ N_2=(1-p)N_0+(1-p)N_1 \end{eqnarray*}$$ se obtienen las soluciones: $$N_1=\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0 \wedge N_2=\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia en un turno es: $$G=pN_0-(1-p)N_0-N_1+N_2=$$ $$(2p-1)N_0-\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}N_0$$ El número total de jugadores es: $$N_0+N_1+N_2=N_0+\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=$$ $$\frac{-p^2+p+2}{p^2-p+1}N_0=\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia media es: $$\overline{G}=\frac{\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}}{\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}}=\frac{p(1-p)(1-2p)}{(1+p)(2-p)}$$
Supongamos muchos jugadores participando simultáneamente y observamos un turno determinado: Sea N0 el número de jugadores sin ganancia ni pérdida, N1 con ganancia N2 con pérdida en un turno determinado.
En el turno siguiente, el número de jugadores sin ganancia ni pérdida será: $$N_0'=pN_1+(1-p)N_2$$ pues sale cara y había cara o sale cruz y había cruz.
El número de jugadores con ganancia será: $$N_1'=pN_0+pN_2$$ pues sale cara y no había nada o sale cara y había cruz.
El número de jugadores con pérdida será:
$$N_2'=(1-p)N_0+(1-p)N_1$$ pues sale cruz y no había nada o sale cruz y había cara.
Las soluciones estacionarias se obtienen cuando, después de muchas iteraciones, los nuevos valores coinciden con los anteriores. Resolviendo el sistema:
$$\begin{eqnarray*} N_0 = pN_1+(1-p)N_2 \\ N_1=pN_0+pN_2 \\ N_2=(1-p)N_0+(1-p)N_1 \end{eqnarray*}$$ se obtienen las soluciones: $$N_1=\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0 \wedge N_2=\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia en un turno es: $$G=pN_0-(1-p)N_0-N_1+N_2=$$ $$(2p-1)N_0-\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}N_0$$ El número total de jugadores es: $$N_0+N_1+N_2=N_0+\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=$$ $$\frac{-p^2+p+2}{p^2-p+1}N_0=\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia media es: $$\overline{G}=\frac{\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}}{\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}}=\frac{p(1-p)(1-2p)}{(1+p)(2-p)}$$
