La media aritmética y otras medias (I)

Para el conjunto de datos: $$x_1,x_2,\cdots x_n$$ y en particular para los datos a y b, se definen las siguientes medias:

• ARITMÉTICA: $$A=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
• GEOMÉTRICA: $$G=\left [\prod_{i=1}^{n}{x_i}\right ]^{1/n} \rightarrow G=\sqrt{ab}$$
• ARMÓNICA: $$H=n \left [ \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}\right ]^{-1} \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
• CUADRÁTICA: $$Q=\left [\frac{1}{n}\prod_{i=1}^{n}{x_i}^2\right ]^{1/2} \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

Estas medias cumplen las siguientes desigualdades: $$H \leq G \leq A \leq C$$

¿Hay otra forma de cortar una pizza?

Si queremos dividir en 12 trozos o porciones iguales una tarta hexagonal o una pizza (necesariamente circular), la forma habitual es hacer cortes radiales. En el caso de la tarta se unen con segmentos los vértices del polígono con su centro, dando origen a 6 triángulos equiláteros y posteriormente desde el centro del polígono se trazan las alturas de cada unos de los triángulos, obteniéndose así 12 triángulos rectángulos idénticos. En el caso de la pizza se divide en 12 sectores circulares de 30 grados cada uno, que es la forma tradicional de dividir una pizza.

Matemáticos de la Universidad de Liverpool han llevado al extremo la preocupación de no pocos amantes de la pizza por compartir este popular alimento distribuyendo equitativamente las porciones.
Pero ¿y si el centro de la pizza tiene un complemento que algunas personas prefieren evitar, mientras que otros les gusta más la zona crujiente del borde?
Un estudio publicado en arXiv por Joel Haddley y Stephen Worsley explora las posibilidades y variaciones sobre una porción convencional de pizza, aunque su aplicación real sea complicada para cualquier cortador, incluso los que elaboran profesionalmente este producto.

Teorema de Thébault (II)

Sobre los lados AB y AD contiguos de un cuadrado ABCD se construyen dos triángulos equiláteros ABF y ADE exteriores al cuadrado. Entonces el triángulo CEF es también equilátero. También se cumple la propiedad si los triángulos equiláteros contiguos se construyen interiores al cuadrado.

Teorema de Thébault (I)

Si sobre los lados de un paralelogramo se construyen cuadrados externos al paralelogramo, los puntos medios de estos cuadrados determinan otro cuadrado. Es una versión con cuadrados del teorema de Napoleón.

Procesos de Markov

En la teoría de la probabilidad, se conoce también como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un suceso depende solamente del suceso inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Márkov. Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que lo introdujo en 1907.

• Cadena de Markov: proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0,1,2,... y todos los estados verifica: $$P(X_{t+1}=i_{t+1} | X_t=i_t, X_{t-1}=i_{t-1}, ..., X_1=i_1, X_0=i_0)=$$ $$P(X_{t+1}=i_{t+1}|X_t=i_t)$$
• Hipótesis de estabilidad (no depende de t) y probabilidad de transición: $$P(X_{t+1}=j|X_t=i)=p_{ij} $$
• Matriz de probabilidades de transición: $$P=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \ldots & p_{1n}\\ p_{21} &p_{22} & \ldots & p_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ p_{n1} & p_{n2} &\ldots & p_{nn}\end{bmatrix}$$
• Se debe cumplir: $$\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$$
• Distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov: $$q=\left [ q_1,q_2, \cdots q_n \right ]$$ $$\ q_i=P(X_0=i)$$
• La distribución de probabilidad en la etapa k es: $$qP^k$$
• Si P es la matriz de transición de una cadena ergódica (existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero) de n estados, entonces existe un vector: $$\pi=\left [ \pi_1,\pi_2, \cdots \pi_n \right ]$$ $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} P^n=\begin{bmatrix} \pi_1 & \pi_2 & \ldots & \pi_n\\ \pi_1 &\pi_2 & \ldots & \pi_n \\ \vdots&&&\vdots \\ \pi_1 & \pi_2 &\ldots & \pi_n\end{bmatrix}$$
• El valor de ese vector de estabilidad se puede obtener resolviendo el sistema matricial: $$\pi=\pi P$$
• Y con la condición siguiente que evita que el sistema sea indeterminado: $$ \pi_1+\pi_2+\cdots \pi_n=1$$