Modelo de epidemia (I)

ModeloSIR de propagación de una enfermedad:

$$S \rightarrow I \rightarrow R$$ donde S es el número de individuos susceptibles de enfermar, I los individuos infectados y R los que se han recuperado de la enfermedad y quedan inmunizados. La población total se mantiene constante:

$$N=S(t)+I(t)+R(t)$$ Las ecuaciones diferenciales son: $$\frac{dS}{dt}=-\alpha SI+\mu (N-S)$$ $$\frac{dI}{dt}=\alpha SI-\beta I-\mu I$$ $$\frac{dR}{dt}=\beta I-\mu R$$ $$\alpha, \beta, \mu$$ son las tasas de contagio, recuperación y de nacimiento-muerte, respectivamente.

El umbral epidemiológico se alcanza cuando: $$K=\frac{ \alpha S}{\beta+\mu}=1$$ Desciende el número de infectados si: $$K\leq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt} \leq 1$$ Aumenta el número de infectados si: $$K\geq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt}\geq 1$$

Si la tasa de nacimientos-muertes es nula, entonces el modelo simplificado corresponde al de Kermack-McKendrick.

Teorema de Poncelet

En un triángulo rectángulo los catetos, la hipotenusa y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita cumplen las siguientes relaciones: $$b+c=a+2 \cdot r= 2 (R+r)$$ siendo a la hipotenusa , b y c los catetos, r el radio de la circunferencia inscrita y R el radio de la circunferencia circunscrita.

Juego de ruleta: La Boule

Este juego fue inventado en el siglo XVIII en Francia como una variante del denominado La Hoca. Consiste en una versión reducida de la ruleta tradicional.

Consta de 18 casiilas numeradas del 1 al 9 en dos series, una superior y otra inferior. Los jugadores pueden apostar de manera múltiple: negro (rojo), impar (par), falta (pasa), superior (inferior) o individual a un número cualquiera. El 5 actúa como el 0 de la ruleta tradicional, pero se admite como apuesta individual.

La esperanza de ganancia para el apostante es de -11.11%, y por tanto, muy ventajosa para la banca lo que hace que cada vez sea menos frecuente su presencia en los casinos, salvo en algunos  de Francia.

El aparato de Galton

El aparato de Galton es un mecanismo en el que una bola choca con un tope y se desplaza a izquierda o derecha, choca nuevamente y se desplaza de nuevo a izquierda o derecha y así sucesivamente hasta caer en un casillero final.

Para determinar el número esperado de bolas que caen en cada casillero, se puede considerar que al chocar cada bola se duplica, y una se va por la izquierda y otra por la derecha. Se obtienen así los números del triángulo de Pascal.

En cada nivel se obtienen los números combinatorios:

$$\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right),k=0,1,...n$$

Si consideramos que p es la probabilidad de ir a la derecha (éxito) y q=1-p la de ir a la izquierda (fracaso), la probabilidad esperada en cada casillero es:
$$P(k)=\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) p^kq^{n-k}$$ que sería la probabilidad de k éxitos en un aparato de Galton de n niveles.

La distribución binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta. Da la probabilidad  de k de éxitos en n pruebas de Bernoulli independientes.

Un ensayo de Bernoulli sólo tiene dos resultados posibles: éxito con una probabilidad p o fracaso con una probabilidad q=1-p.

La función de probabilidad es: $$f(x)=P(X=x)=\left( \begin{array}{c} n\\ x \end{array} \right) p^xq^{n-x}$$ siendo la media y la varianza de la distribución: $$E[X]=np \wedge V[X]=npq$$ Si n=1 se obtiene la media y la varianza de la distribución de Bernoulli.