Permutaciones y estrategias

Como abrir una caja fuerte

Un equipo de 5 personas deben abrir una caja fuerte cuya clave consta de 5 dígitos comprendidos entre 0 y 9. Cada persona conoce una de las cifras del código, por ejemplo 3, 7, 6, 5 y 2. Cada persona accede a la caja fuerte en ese orden, sin poder comunicar con los demás.

Los dígitos del teclado se han intercambiado de manera aleatoria y cada persona dispone de 5 intentos para dar con la cifra correcta. A la sexta pulsación el sistema de seguridad bloquea el teclado y ya no se puede abrir la caja fuerte.

Si cada persona escogiera las teclas al azar, la probabilidad de pode abrir la caja fuerte sería:
$$(1/2)^5=3,125 \%$$

¡Podemos multiplicar por algo más de diez la probabilidad de éxito!

• Comenzar por la tecla marcada con el dígito deseado.
• Si la cifra que aparece es la correcta, confirmar. Si no, borrar y pulsar la tecla del dígito aparecido.
• Repetir la operación hasta dar con el número correcto o hasta agotar los intentos.

Supongamos que se ha generado, de manera aleatoria, la siguiente permutación:

 Todas las cifras se obtienen a la 5ª pulsación, por ejemplo para el 3, aparecen sucesivamente 6, 9, 5, 8 y 3.

Esto ocurre porque la permutación tiene dos "ciclos" de 5 elementos, el anterior y el formado por 0, 1, 2, 4, 7.

 En cambio si la permutación aleatoria fuera:

habría un ciclo de 9 elementos: 6, 9, 5, 8, 4, 0, 1, 2, 3 y un ciclo de un sólo elemento: 7.
 Por tanto, si el dígito pertenece a un ciclo de más de 5 elementos se pierde.

¿Por qué esta estrategia es la óptima? 

Lógicamente, ninguna permutación puede contener un ciclo de más de 6 elementos. Estas permutaciones, teniendo en cuenta las diferentes ordenaciones que se pueden obtener, para n>5 son:

$$\binom {10} {n}(n-1)!(10-n)!=\frac{10!}{n}$$

Como hay 10! permutaciones de 10 dígitos, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>5 elementos es 1/n.

Por tanto la probabilidad de abrir la caja fuerte es:
$$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\simeq35,4\%$$

Paradoja de Steiver

Se trata de analizar la evolucíón del valor de unas acciones en bolsa a lo largo del tiempo.

Simulador I: Una inversión aparentement ganadora, es perdedora a largo plazo.

Simulador II: Una combinación de dos de esas inversiones perdedoras, resulta ganadora a largo plazo.

MODELO STEIVER I: Se fijan los porcentajes de ganancia y pérdida y al pulsar “simulación” se genera una serie temporal de inversiones, pudiendo conocer la rentabilidad acumulada hasta un día determinado.

MODELO STEIVER II: Se fijan los porcentajes de ganancia y pérdida y al pulsar “simulación” se genera una serie temporal de inversiones, pudiendo conocer la rentabilidad acumulada hasta un día determinado.

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Se proponen una serie de actividades con “lápiz y papel” y simultáneamente se puede utilizar la simulación para “comprobar” los resultados obtenidos. Tanto el cuestionario como las soluciones se pueden ver en el pdf.

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Teorema de Monge

El Teorema de Monge, debe su nombre a Gaspard Monge, matemático francés inventor de la Geometría Descriptiva.

Sean tres circunferencias secantes dos a dos. Los tres segmentos, que une los puntos de intersección de cada par de circunferencias, se cortan en un mismo punto.

Teorema de Carnot

El Teorema de Carnot, debe su nombre a Lazare Carnot, político y matemático francés que participó en las guerras revolucionarias francesas.

En un triángulo cualquiera, la suma de distancias del circuncentro a los lados del triángulo es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

El signo de la distancia a un lado es negativa si y solo si el segmento que determina la distancia  está completamente fuera del triángulo.

Pitágoras por Perigal

El Teorema de Pitágoras dice que "en un  triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos":

$$a^2=b^2+c^2$$

Una comprobación (rompecabezas) del teorema se debe a Henri Perigal.

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