Los números de las mazmorras

En un castillo las torres están en la parte alta. De forma simbólica podemos considerar las potencias de potencias como las escaleras para alcanzar la torre. Las operaciones se pueden hacer de abajo a arriba (con paréntesis), o de arriba a abajo (lo correcto).

En el caso ascendente hemos obviado los paréntesis y el resultado, aunque grande, no es comparable con el obtenido en el caso descendente.

Un número  a en base b se obtiene de la siguiente manera:

$$a_b \rightarrow 123_4=(3·4^0+2·4^1+1·4^2)_{10}=27_{10}$$ Pero si hacemos una cadena de números de la forma: $$a_{b_c}$$ diremos, en forma simbólica, que las escaleras nos conducen a las mazmorras o calabozos. En imagen se muestra al amo del calabozo, personaje mítico del famoso juego de rol 'Dragones y Mazmorras'.

Veamos como se van obteniendo los diferentes resultados, a partir del número 10 e incrementando una unidad la nueva base, según se vayan realizando de abajo a arriba (lo correcto) o de arriba a abajo (con paréntesis).

Aunque parece que el orden no altera el resultado, no es cierto si seguimos avanzando en la serie. Cuando vamos de abajo a arriba se tiene:

$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 65, 87, ...$$

En cambio si vamos de arriba a abajo los valores son:

$$10, 11, 13, 16,20,30,48,76,132,420,1640,11991...$$

y el crecimiento es mucho más rápido.

Si en vez de ir aumentando desde 10 de forma descendente, se hace de forma ascendente se obtiene:

Y en este supuesto, si vamos de abajo a arriba se tiene la serie: 

$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 110,221, ...$$

En cambio, si vamos de arriba a abajo los valores son:

 $$10, 11, 13, 16, 20,28 , 45, 73, 133,348, 4943,22779, ...$$

y también el crecimiento es más rápido.

En particular, para n=35 se obtienen, respectivamente, los siguientes resultados: $$9153583, 8.6168...10^{643}, 41795936, 1.2327...10^{898}$$

Por tanto, cuando se desciende a las mazmorras del castillo, los números obtenidos, aún siendo grandes, no tienen comparación con los obtenidos cuando se sube a las torres del castillo.

Un número no entero en base b se obtiene de la siguiente forma:

$$123.45_b=1·b^2+2·b^1+3·b^0+\frac{4}{b}+\frac{5}{b^2}$$

Si lo aplicamos,de abajo a arriba, a una serie descendente con todos los valores iguales: $$a_{{a_{a}}_{...}}$$, para a=1.1 se obtienen los valores:

Si se obtienen más términos, se observa que la serie va a converger y por tanto, como la diferencia entre dos términos consecutivos será cada vez menor, se debe cumplir que:

 $$1+\frac{1}{\phi}=\phi \rightarrow \phi^2-\phi-1=0 \rightarrow \phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}=1.6180...$$ que corresponde al número de oro.

Si a>10 diverge, si a=10 siempre es 10 pero si 1<a<10 es un sistema dinámico de manera que converge a un único valor (ej. a=1.1 al número de oro), bien oscila entre dos valores ( a=1.05) o diverge (ej. a=100/99).

Basado en el paper 'Descending Dungeons and Iterated Base-Changing' de David Applegate, Marc LeBrun and N. J. A. Sloane.

Conjetura de Kollatz (II)

 La conjetura de Collatz, también conocida como la conjetura de 3n+1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa, es una conjetura de la teoría de números establecida por Lothar Collatz en 1937.

Si un número n es par se divide por 2:

$$f(n)=\frac{n}{2}$$

Si un número n es impar se multiplica por 3 y se le suma 1:

$$f(n)=3n+1$$

La conjetura dice: Si partimos de cualquier número natural y se aplican los criterios anteriores de  forma sucesiva a los números que se van obteniendo, siempre se termina en 1. Si se continuara el proceso se obtendría {4,2,1} de manera cíclica.

Aunque no existe una demostración matemática de la conjetura, se ha probado que para números menores que 2^68 se cumple. Por otro lado, de los 100.000.000 primeros números, el que genera la secuencia más larga es el 63.728.127 que necesita 947 iteraciones.

Los números que son suma de potencias de 2 con exponente par necesitan pocas iteraciones para llegar al 1. Por ejemplo:

$$2^0+2^2=1+4=5\rightarrow 5·3+1=16=2^4$$

$$2^0+2^2+2^4=1+4+16=21\rightarrow 21·3+1=64=2^6$$

$$2^0+2^2+2^4+2^6=1+4+16+64=85\rightarrow 85·3+1=256=2^8$$

Y como se llega a una potencia de 2, a partir de ahí sólo se necesitan  4, 6 y 8 iteraciones respectivamente.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir el valor inicial de la serie.
• Se puede ir cambiando de iteración y obtener el valor correspondiente.

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Teorema de Finsler-Hadwiger

Si dos cuadrados tienen un vértice común, entonces los centros de ambos cuadrados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices adyacentes al vértice común forman un cuadrado.

Los cuadrados ABCD y DEFG comparten el vértice D. H e I son los puntos medios de los segmentos AE y CG, respectivamente. El polígono IJHK es un cuadrado.

Construimos los paralelogramos congruentes DALE y DGMC y determinamos los centros J y K de los cuadrados iniciales. 

Si se efectúa un giro de 90º de centro J, el paralelogramo DALE se convierte en el DGMC. Por tanto,  los segmentos JH y JI son iguales y perpendiculares.

Analogamente, si se efectúa un giro de 90º de centro K, el paralelogramo DGMC se convierte en el DALE. Por tanto, los segmentos KH y KI. son iguales y perpendiculares. Luego el paralelogramo IJHK es un cuadrado.

• El deslizador 'alpha' permite girar el paralelogramo DALE en el sentido de las agujas del reloj.
• El deslizador 'beta' permite gira el paralelogramo DGMC en el sentido contrario de las agujas del reloj.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Dados de Sicherman

Según Martin Gardner, el coronel George Sicherman de Buffalo fue el primero en plantear y resolver la siguiente pregunta:

¿Se pueden numerar dos dados de forma diferente a la estándar de tal manera que se obtengan las mismas sumas y con las  mismas probabilidades  que en los dados estándar?

En la imagen izquierda se muestran los resultados posibles con dos dados tradicionales y en la imagen de la derecha los mismos resultados pero con dos dados numerados de forma diferente

La función generatriz del lanzamiento de un dado cúbico es el polinomio:$$f(x)=\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{6}x^5+\frac{1}{6}x^6$$ donde los exponentes indican los posibles resultados y los coeficientes su probabilidad. Se supone,  en el caso del dado, que los sucesos son equiprobables (1/6). Si se lanza dos dados se tiene:$$f^2(x)=(\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{6}x^5+\frac{1}{6}x^6)^2$$$$f^2(x)=6^{-2}(x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+$$$$6x^7+5x^8+4x^9+3x^{10}+2x^{11}+x^{12})$$

Vemos que las sumas 2 y 12 son las menos probables y en cambio la suma 7 es la más probable.

Vamos a aplicar la fórmula de las progresiones geométricas a la función generatriz del lanzamiento de un dado:

$$f(x)=\frac{1}{6}\frac{x(x^6-1)}{x-1}=\frac{1}{6}\frac{x(x^3+1)(x^3-1)}{x-1}=$$

$$\frac{1}{6}x(x^3+1)(x^2+x+1)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$

Elevando al cuadrado se obtiene la función del lanzamiento de dos dados que permite descomponerla como producto de dos funciones:

$$f^2(x)=g(x)h(x)$$

$$g(x)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2+x+1)=\frac{1}{6}(x+2x^2+2x^3+x^4)$$

que corresponde a las características del primer dado.

$$h(x)=\frac{1}{6}x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2=$$

$$\frac{1}{6}(x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8)$$

que corresponde a las características del segundo dado.

Veamos que también se puede conseguir con dados tetraédricos:

La función generatriz del lanzamiento de un dado tetrédrico es el polinomio:

$$f(x)=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{4}x^4=\frac{1}{4}\frac{x(x^4-1)}{x-1}=$$

$$\frac{1}{4}\frac{x(x^2-1)(x^2+1)}{x-1}=\frac{1}{4}x(x+1)(x^2+1)$$

Elevando al cuadrado se obtiene la función del lanzamiento de dos dados que permite descomponerla como producto de dos funciones:

$$f^2(x)=g(x)h(x)$$

$$g(x)=\frac{1}{4}x(x^2+1)^2=\frac{1}{4}(x+2x^3+x^5)$$

que corresponde a las características del primer dado.

$$h(x)=\frac{1}{4}x(x+1)^2=\frac{1}{4}(x+2x^2+x^3)$$

que corresponde a las características del segundo dado.

Recordemos que el cubo y el tetraedro son dos de los cuerpos platónicos. ¿Es posible conseguirlo con los otros cuerpos platónicos? Es decir, con dados octaédricos, dodecaédricos e icosaédricos. En el caso del octaedro hay tres pares de soluciones:

{1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9} y {1, 2, 2, 3, 5, 6, 6, 7}

{1, 2, 5, 5, 6, 6, 9, 10} y {1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6}

{1, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 11} y {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5}

Para el dodecaedro hay 7 soluciones y para el icosaedro se debe suponer un número más grande todavía.

Sucesiones de Fibonacci (I)

Todos conocemos la sucesión de Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$ $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\;\;(n>2)$$ donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$ Si ahora consideramos: $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=F_2+F_1 \quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}\;\;(n>3)$$ se obtiene la llamada sucesión de Tribonacci: $$1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,...$$ En general, se llama una sucesión k de Fibonacci: $$\{F_n^k\}_{i=1}^\infty$$ $$F_1^k=F_2^k=1 \quad F_n^k=\sum_{i=1}^kF_{n-i}^k\;\;(n>2)$$ Así se obtienen para: $$k=2, 3, 4, 5,...$$ las sucesiones de Fibonacci, Tribonaccci, Tetranacci, Pentanacci,... Para todas estas sucesiones : $$\exists \;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$$ Estos límites son la mayor solución positiva de las ecuaciones: $$x^n(2-x)=1$$ Para n=2 se tiene: $$x^2(2-x)=1 \rightarrow x^3-2x^2+1=0 \rightarrow x=\frac{1}{2}(\sqrt {5}+1) =\phi\approx 1.618$$ Para n=3 se tiene: $$x^3(2-x)=1 \rightarrow x^4-2x^3+1=0 \rightarrow $$ $$x=\frac{1}{3}[1+(19-3\sqrt{33})^\frac{1}{3}+(19+3\sqrt{33})^\frac{1}{3}] \approx 1.839$$ Vemos que la solución algebraica es cada vez más compleja y difícil de obtener. Una alternativa es considerar la función: $$f(x)=x^n(2-x)-1$$ Si se representan estas funciones podemos obtener los límites buscando las raíces mayores que la unidad de esas funciones.

En la figura se han representado las funciones para n=2,3,4. Se observa que todas tienen como raíz la unidad. Para n=2 además hay una raíz negativa; para n=3 dos raíces  complejas; para n=4 hay una negativa y dos complejas. Además se observa que los valores buscados van creciendo y tienen al número 2.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir el tipo de sucesión.
• Se muestran los 20 primeros términos de la sucesión y del cociente entre términos consecutivos. 
• Variando F1 y F2 se puede observar que no influyen en el límite del cociente entre términos consecutivos.

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