Paradoja de Simpson-Yule

Fue citada en 1951 por el estadístico Edward Hugh Simpson (1922-), pero anteriormente por Udny Yule (1871-1951), de ahí que se conozca también como el efecto Yule-Simpson y muestra que una tendencia que aparece en varios grupos de datos, desaparece cuando estos grupos se combinan y en su lugar aparece la tendencia contraria para los datos agregados.
En unas elecciones se presentan el Partido Progresista y el Partido Conservador en la mancomunidad formada por las localidades de Villavieja y Villanueva. La tabla recoge los votos obtenidos por cada partido en cada localidad y conjuntamente, indicando el voto femenino y masculino en cada caso.

Progresista-Conservador	Mujeres	Hombres	Total
Villanueva	210-490	240-60	450-550
Villavieja	80-320	450-150	530-470

La nueva tabla muestra los porcentajes de voto obtenido por el Partido Progresista en cada localidad por sexos y globalmente. Se observa que el porcentaje de votos obtenidos en Villanueva es superior al obtenido en Villavieja, tanto en mujeres como en hombres, y en cambio para los datos globales es más votado en Villavieja que en Villanueva. La paradoja se produce cuando son grandes las diferencias entre los tamaños de los sectores y la diferencia entre los porcentajes de cada sector.

Porcentaje Progresista	Mujeres	Hombres	Total
Villanueva	30%	80%	45%
Villavieja	20%	75%	53%

Matemáticamente se expresa:

$$\frac{a}{b}<\frac{A}{B} \wedge \frac{c}{d}<\frac{C}{D} \Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{A+C}{B+D}$$

• Basado en un artículo de Juan M.R. Parrondo en Investigación y Ciencia.

La media aritmética y otras medias (II)

El matemático alemán Otto Hölder propuso una definición generalizada de la media. Esta media depende de un parámetro que para determinados valores dan lugar a las medias conocidas. $$\overline x (k)=\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^k} \right )^{1/k} \rightarrow \overline x (k)=\left [\frac{1}{2}(a^k+b^k) \right ]^{1/k}$$ Se muestra la fórmula para n valores y la que se va a utilizar para dos valores a y b.

• ARITMÉTICA: $$k=1 \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
• CUADRÁTICA: $$k=2 \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$
• ARMÓNICA: $$k=-1 \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
• GEOMÉTRICA: $$k \rightarrow 0 \rightarrow G=\sqrt{ab}$$

Veamos la obtención de la última media: $$\lim_{k \to 0}\left [\frac{1}{2} (a^k+b^k) \right ]^{1/k}=1^\infty$$ Recordando que si: $$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$$ se puede hacer el cambio: $$f(x)=1+h(x) \wedge \lim_{x \to a}h(x)=0$$ $$ \lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \lim_{x \to a}\left [ 1+h(x)\right ]^{\frac{1}{h(x)}h(x)g(x)}=$$ $$\lim_{x \to a}e^{h(x)g(x)}=\lim_{x \to a}e^{(f(x)-1)g(x)}$$ Aplicando el algoritmo a nuestro caso: $$\lim_{k \to 0}\left [ \frac{1}{2}(a^k+b^k) -1\right ]\frac{1}{k}=\frac{0}{0}$$ y aplicando la regla de l'Hôpital: $$\lim_{k \to 0}\frac{1}{2}\frac{(a^kLa+b^kLb)}{1}=\frac{1}{2}(La+Lb)=L(ab)^{1/2}$$ Por tanto, el límite es: $$e^{L(ab)^{1/2}}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}$$

La media aritmética y otras medias (I)

Para el conjunto de datos: $$x_1,x_2,\cdots x_n$$ y en particular para los datos a y b, se definen las siguientes medias:

• ARITMÉTICA: $$A=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
• GEOMÉTRICA: $$G=\left [\prod_{i=1}^{n}{x_i}\right ]^{1/n} \rightarrow G=\sqrt{ab}$$
• ARMÓNICA: $$H=n \left [ \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}\right ]^{-1} \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
• CUADRÁTICA: $$Q=\left [\frac{1}{n}\prod_{i=1}^{n}{x_i}^2\right ]^{1/2} \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

Estas medias cumplen las siguientes desigualdades: $$H \leq G \leq A \leq C$$

¿Hay otra forma de cortar una pizza?

Si queremos dividir en 12 trozos o porciones iguales una tarta hexagonal o una pizza (necesariamente circular), la forma habitual es hacer cortes radiales. En el caso de la tarta se unen con segmentos los vértices del polígono con su centro, dando origen a 6 triángulos equiláteros y posteriormente desde el centro del polígono se trazan las alturas de cada unos de los triángulos, obteniéndose así 12 triángulos rectángulos idénticos. En el caso de la pizza se divide en 12 sectores circulares de 30 grados cada uno, que es la forma tradicional de dividir una pizza.

Matemáticos de la Universidad de Liverpool han llevado al extremo la preocupación de no pocos amantes de la pizza por compartir este popular alimento distribuyendo equitativamente las porciones.
Pero ¿y si el centro de la pizza tiene un complemento que algunas personas prefieren evitar, mientras que otros les gusta más la zona crujiente del borde?
Un estudio publicado en arXiv por Joel Haddley y Stephen Worsley explora las posibilidades y variaciones sobre una porción convencional de pizza, aunque su aplicación real sea complicada para cualquier cortador, incluso los que elaboran profesionalmente este producto.

Teorema de Thébault (II)

Sobre los lados AB y AD contiguos de un cuadrado ABCD se construyen dos triángulos equiláteros ABF y ADE exteriores al cuadrado. Entonces el triángulo CEF es también equilátero. También se cumple la propiedad si los triángulos equiláteros contiguos se construyen interiores al cuadrado.