Teorema de Thébault (II)

Sobre los lados AB y AD contiguos de un cuadrado ABCD se construyen dos triángulos equiláteros ABF y ADE exteriores al cuadrado. Entonces el triángulo CEF es también equilátero. También se cumple la propiedad si los triángulos equiláteros contiguos se construyen interiores al cuadrado.

Teorema de Thébault (I)

Si sobre los lados de un paralelogramo se construyen cuadrados externos al paralelogramo, los puntos medios de estos cuadrados determinan otro cuadrado. Es una versión con cuadrados del teorema de Napoleón.

Procesos de Markov

En la teoría de la probabilidad, se conoce también como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un suceso depende solamente del suceso inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Márkov. Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que lo introdujo en 1907.

• Cadena de Markov: proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0,1,2,... y todos los estados verifica: $$P(X_{t+1}=i_{t+1} | X_t=i_t, X_{t-1}=i_{t-1}, ..., X_1=i_1, X_0=i_0)=$$ $$P(X_{t+1}=i_{t+1}|X_t=i_t)$$
• Hipótesis de estabilidad (no depende de t) y probabilidad de transición: $$P(X_{t+1}=j|X_t=i)=p_{ij} $$
• Matriz de probabilidades de transición: $$P=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \ldots & p_{1n}\\ p_{21} &p_{22} & \ldots & p_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ p_{n1} & p_{n2} &\ldots & p_{nn}\end{bmatrix}$$
• Se debe cumplir: $$\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$$
• Distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov: $$q=\left [ q_1,q_2, \cdots q_n \right ]$$ $$\ q_i=P(X_0=i)$$
• La distribución de probabilidad en la etapa k es: $$qP^k$$
• Si P es la matriz de transición de una cadena ergódica (existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero) de n estados, entonces existe un vector: $$\pi=\left [ \pi_1,\pi_2, \cdots \pi_n \right ]$$ $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} P^n=\begin{bmatrix} \pi_1 & \pi_2 & \ldots & \pi_n\\ \pi_1 &\pi_2 & \ldots & \pi_n \\ \vdots&&&\vdots \\ \pi_1 & \pi_2 &\ldots & \pi_n\end{bmatrix}$$
• El valor de ese vector de estabilidad se puede obtener resolviendo el sistema matricial: $$\pi=\pi P$$
• Y con la condición siguiente que evita que el sistema sea indeterminado: $$ \pi_1+\pi_2+\cdots \pi_n=1$$

Problema de Fagnano

El triángulo DEF inscrito en el triángulo ABC que tiene un perímetro mínimo es aquel que tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo ABC.
Resuelto analíticamente por Fagnano. Hay dos soluciones geométricas debidas a H. A. Schwartz y a L. Fejér. Veamos esta última.

En el triángulo inscrito DEF, se considera D fijo y los vértices E y F variables. Se refleja D sobre los lados AB y BC, obteniéndose los puntos D y D', que forman el triángulo isósceles D'CD'', pues CD'=CD'' y con el ang(D'CD'')=2·ang(C).

Es evidente que el triángulo inscrito DE'F' es el que tiene menor perímetro para el punto D fijo, pues DE=ED', DF=FD'', DE'=E'D' y D''F'=F'D y al estar alineados los puntos D, E', F' y D'' la distancia DE+EF+FD
Ahora se desplaza D para conseguir que el triángulo DE'F' tenga un perímetro aún menor. Como D'D''=2·CD·sen(C)  y el ángulo C es fijo, la distancia D'D'' será mínima cuando lo sea la distancia CD y esto ocurre cuando CD sea la altura del triángulo desde el vértice C.

Razonando de manera análoga con los otros puntos E y F, se deduce que el tríángulo de perímetro mínimo es el llamado triángulo órtico.

Teorema de Marion

Si los puntos que trisecan los lados de un triángulo son conectados a los vértices opuestos, el hexágono resultante tiene área igual a 1/10 del área del triángulo original.

Este teorema fue descubierto por Walter Marion, profesor de la Univesidad de Oregon, utilizando el software The Geometer’s Sketchpad.

Posteriormente, un alumno americano del noveno año, Ryan Morgan, de la Patapsco High School (Baltimore, Maryland) utilizando el mismo software, descubrió que no sería necesaria la restricción del Teorema de Marion de trisecar los lados, pues podían ser divididos en n partes iguales, de las que se obtendría un polígono cuya área sería una fracción del área del triángulo original.

De esta forma, experimentó con diferentes valores de n para determinar las n secciones de cada lado del triángulo original y verificó la presencia de un patrón cuando n era impar. Usando una calculadora científica y regresión cuadrática, Ryan conjeturó que la razón general, para n impar, estaba dada por: $$\frac{9n^2-1}{8}$$

Selectividad de ciencias sociales-Curso 14/15

A continuación aparecen los enunciados y soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y julio para el bachillerato de ciencias sociales del curso 14/15.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

Selectividad ciencias-Curso 14/15

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 14/15.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de julio

La distribución normal

Es la distribución de probabilidad continua más importante. Recibe su nombre por la frecuencia en que aparece en situaciones muy diversas. De hecho, al principio se pensaba que todos los fenómenos aleatorios seguían una distribución normal.
 La función densidad de la distribución normal de media y desviación típica dadas es:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu }{\sigma } \right )^{2}}$$

Cuando la media es 0 y la desviación típica 1, se obtiene la distribución normal estándar N(0,1) que está tabulada:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$$

Para calcular las probabilidades de una distribución normal cualquiera se debe pasar a la N(0,1), es decir, tipificar la variable mediante el cambio:

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$

Abraham de De Moivre demostró, que en determinadas condiciones, la distribución binomial se puede aproximar mediante la distribución normal:

$$B(n,p)\rightarrow N(np,\sqrt{npq})$$

Esa aproximación es admisble si se verifican las desigualdades:

$$np\geq 5\wedge nq\geq 5$$

Al utilizar una variable continua para una variable discreta, se comete un error que se corrige modificando el intervalo  que se quiere calcular (correción de Yates).

$$p(a\leq x\leq b)=p(a-0.5\leq x'\leq b+0.5)$$

En una binomial la probabilidad de alcanzar hasta k éxitos es:

$$\sum_{n=0}^{k}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede introducir la media y la d. típica de la distribución normal, Con las flechas elegir los extremos del intervalo y obtener la probabilidad. La región bajo la curva se muestra en la gráfica,
  
• Elegir con las flechas el percentil y obtener el valor de la variable aleatoria correspondiente.
• En la Binomial, se puede fijar con las flechas el valor de la probabilidad de éxito y el número de pruebas. Se obtiene la media y la d. típica de la normal.
• Se puede obtener la probabilidad de obtener hasta k éxitos en una binomial y compararla con la aproximación normal. Se muestra la correción de Yates.

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Teorema de Routh (II)

En un triángulo cualquiera cada lado se divide en 3 segmentos iguales y el punto origen del tercer segmento se une al vértice opuesto a ese lado. Estos segmentos se intersectan formando un triángulo interior. El área de este triángulo es 1/7 del área del triángulo incial.

Es un caso particular del Teorema de Routh:

Si en un triángulo se trazan las cevianas (segmento que une un vértice con el lado opuesto), si r, s y t son las razones entre los segmentos determinados por las cevianas en cada un de los lados, entonces se cumple:

$$\frac{Area ABC}{Area OXY}=\frac{(rst-1)^2}{(rs+t+1)(rt+s+1)(st+r+1)}$$

Se puede comprobar que se obtiene el valor 1/7 cuando r=s=t=1/3.

Método de Kochanski

Es un método geométrico para obtener un valor aproximado del número pi:

• Se dibuja una circunferencia de radio unitario.
• Se inscribe un triángulo equilátero ABC.
• Se traza la mediatriz del lado AB, que intersecta en I y en H.
• Se traza la paralela al lado AB por I, que intersecta a la prolongación del lado AC en D.
• A partir de este punto se transportan el radio unitario 3 veces sobre la recta: DE=EF=FG=1.
• El segmento GH mide pi.

Demostración: $$GH^2=HI^2+\left (3-DI \right) ^2$$
$$CJ=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\frac{DI}{AJ}=\frac{CI}{CJ} \rightarrow \frac{DI}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \rightarrow DI=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$GH=\sqrt{2^2+\left(3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=3.1415$$

Punto de Vecten (II)

Dado un  triángulo se construye un cuadrado interior sobre cada lado. Las rectas que pasan por los centros de los cuadrados y por los vértices opuestos a los lados sobre los que están construidos, se cortan en el 2º punto de Vecten.

Punto de Vecten (I)

Dado un triángulo se construye un cuadrado exterior sobre cada lado.  Los segmentos que unen los centros de los cuadrados con los vértices opuestos a los lados sobre los que están construidos, se cortan en el 1º punto de Vecten.