Teorema de Routh (II)

En un triángulo cualquiera cada lado se divide en 3 segmentos iguales y el punto origen del tercer segmento se une al vértice opuesto a ese lado. Estos segmentos se intersectan formando un triángulo interior. El área de este triángulo es 1/7 del área del triángulo incial.

Es un caso particular del Teorema de Routh:

Si en un triángulo se trazan las cevianas (segmento que une un vértice con el lado opuesto), si r, s y t son las razones entre los segmentos determinados por las cevianas en cada un de los lados, entonces se cumple:

$$\frac{Area ABC}{Area OXY}=\frac{(rst-1)^2}{(rs+t+1)(rt+s+1)(st+r+1)}$$

Se puede comprobar que se obtiene el valor 1/7 cuando r=s=t=1/3.

Se puede modificar el triángulo exterior desplazando sus vértices A, B y C y comprobar la propiedad. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Demostración:
$$\overrightarrow{OX}=a \ \wedge \ \overrightarrow{OY}=b\rightarrow \overrightarrow{YX}=a-b$$ $$\overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{OY}+\overrightarrow{YZ}=b+\frac{1}{3}(a-b)=\frac{1}{3}(a+2b)$$ $$\overrightarrow{WX}=\overrightarrow{WO}+\overrightarrow{OX}=-\frac{b}{3}+a=\frac{1}{3}(3a-b)$$ El desplazamiento de un punto a lo largo de OZ es: $$\frac{\mu}{3}(a+2b)$$ El desplazamiento de un punto a lo largo de WX es: $$\overrightarrow{OW}+\lambda \overrightarrow{WX}=\frac{b}{3}+\frac{\lambda}{3}(3a-b)=\frac{1}{3}(3\lambda a+b(1-\lambda ))$$ El punto de intersección A será cuando ambas ecuaciones coincidan: $$\frac{\mu a}{3}=\lambda a \ \wedge \frac{2b\mu}{3}=\frac{b(1-\lambda )}{3}$$ Resolviendo el sistema, los parámetros deben valer: $$\lambda=\frac{1}{7} \ \wedge \ \mu =\frac{3}{7}$$ Por tanto el punto A está a 1/7 del camino a lo largo de WX desde W, y a 3/7 del camino a lo largo de OZ desde O. Análogamente se puede razonar para B y C, y por tanto cada ceviana es cortada por las otras líneas en razón 3:3:1 desde el vértice. El área del triángulo OXY es:
$$\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{OX} \times \overrightarrow{OY}\right |=\frac{1}{2}(a\times b)$$ $$\overrightarrow{AB}=\frac{3}{7}\overrightarrow{WX}=\frac{1}{7}(3a-b) \ \wedge \ \overrightarrow{AC}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OZ}=\frac{1}{7}(a+2b)$$ El área del triángulo ABC es:
$$\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right |=\frac{1}{2}\left | \frac{1}{7}(3a-b) \times \frac{1}{7}(a+2b)\right |=\frac{1}{2} \frac{7a\times b}{49}=\frac{1}{7}\frac{1}{2}(a\times b)$$