8. Desde la antigüedad se sabe que algunas partes del cuerpo humano guardan la proporción áurea. Por ejemplo en el dedo, entre la distancia entre la 1ª y la 2ª falange y entre la 2ª y la 3ª. Hacia 1850 Zeysing constató estadísticamente que el ombligo divide al cuerpo humano según la razón áurea. Comprobar lo anterior en vuestro propio cuerpo y anotar los resultados.
9. A partir de la definición del número de oro, justificar $$\phi=1+\frac{1}{\phi}$$. Esta expresión permite obtener el número Φ de otra manera. Consideremos la expresión recurrente $$\phi_{i+1}=1+\frac{1}{\phi_i}$$ y tomemos como primer valor la unidad. Este método lo utilizó Girard en el siglo XVII, pero la demostración de la convergencia lo hizo Simpson 100 años después.
- Observar que la sucesión obtenida converge a Φ y hacer la representación gráfica del proceso.
- Repetir el proceso con otra expresión recurrente que también converja a phi.
- Intentar aproximar m utilizando el método anterior.
10. Si m2 = m-1 . ¿Cuánto valdrán m3, m4, m5?. Si Φ = 1 + m . ¿Cuánto vale Φ2, Φ3, Φ4?. Escribir una fórmula general para cada caso.
11. La sucesión de restos módulo 2 de la sucesión de Fibonacci es 1, 1, 0, 1 ,1 ,0..., por tanto periódica. Encontrar las sucesiones de restos módulo 3, 4 5 y 6 y verificar que si n es el módulo, el período no excede de n2+1.
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