El número de oro (IV)

12. En la figura los rectángulos están en la proporción áurea siendo AB=1 y CD=m.

• Calcular la suma de las áreas de todos los cuadrados y la longitud del ziz-zag.El ziz-zag converge al punto T. Para obtener las coordenadas de ese punto establecer como origen del sistema de referencia el punto A.
• Construir las sucesiones de las abscisas y ordenadas y hallar la suma de sus infinitos términos. Cada sucesión conviene considerarla como la suma de dos que se puedan calcular por separado.
• El punto T es la intersección de las dos diagonales de los dos primeros rectángulos. Demostrar analíticamente que se obtiene el mismo punto que en el apartado anterior.
• Demostrar que ambas diagonales son perpendiculares.

 13. Si en un pentágono regular trazamos las diagonales se forma la estrella pitagórica de cinco puntas o pentagrama símbolo sagrado con el que se identificaban los miembros de la hermandad de los pitagóricos.

• Calcular todos los ángulos de los triángulos y del pentágono que se forma en el interior.
• Si las diagonales valen la unidad demostrar que cada lado vale m.
• ¿Cuánto vale cualquier segmento como el AF?. ¿Y el lado del pentágono interior?.
• Justificar que $$\frac{AC}{AG}=\frac{AG}{GC}=\frac{GC}{GH}$$. Esto significa que cualquier segmento de la figura es proporción áurea de cualquier otro que le siga en longitud.

• Siguiendo el proceso, aparecerán nuevos pentágonos interiores cada vez más pequeños. Calcular el perímetro y el área de todos ellos.

14. En la figura tomamos AT como unidad. Sea r la distancia de T a cada uno de los vértices anteriores.

• ¿Cuánto vale CT, ET, GT etc?. Completar la tabla y encontrar la fórmula general: 

• Esta tabla corresponde a giros sucesivos de 90º. Tomando ángulos intermedios construir la espiral correspondiente. Si expresas la fórmula que da r en función del ángulo a barrido estás expresando la curva en coordenadas polares.
• Si los segmentos PT y P'T'determinan el mismo ángulo que los segmentos QT y Q'T, demostrar que los triángulos PP'T y QQ'T son semejantes.
• Demostrar que el ángulo es constante y vale $V=\atan{\frac{\pi}{2\ln m}\cong 73^\circ$