La cicloide (II)

El problema de la Braquistócrona fue el motivo de una amarga contienda entre los hermanos Johann y Jakob Bernoulli.

Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.

El problema lo propuso Johann sugiriendo que la respuesta correspondía a una curva muy conocida. No se trataba de encontrar puntos donde una curva tiene un máximo o u mínimo, sino que la incógnita buscada es una curva que debe minimizar cierta relación.

La solución era la conocida curva cicloide y fue obtenida de forma distinta por los hermanos Bernoulli. Jakob lo resolvió utilizando un método que sería el inicio del cálculo de variaciones, pero fue la solución de Johann la más genial utilizando de manera combinada la geometría y la física.

Sigue la construcción "paso a paso" y con dos deslizadores podrás modificar el ángulo de inclinación de la trayectoria recta y el tamaño de la cicloide. Desactivando la casilla de control podrás ocultar los valores numéricos de velocidad y energías de ambos móviles. El deslizador de tiempo permite observar los valores anteriores para cada posición de los móviles.  Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Veamos la explicación de Johann:

Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2gh}$$ El principio de Fermat dice la luz viaja de un punto a otro en el menor tiempo posible. Si atraviesa dos medios distintos se cumple la ley de la refracción: $$\frac{sen \theta_1}{v_1}=\frac{sen \theta_2}{v_2}=k$$

Supongamos un medio óptico formado por finas láminas diferentes:
$$\frac{sen\theta_i}{v_i}=k$$

En nuestro problema se cumple: $$\frac{sen\theta}{\sqrt{2gh}}=k$$ siendo el ángulo el que forma la tangente a la curva con la vertical en cada instante.

Derivando las ecuaciones de la cicloide: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
$$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
$$tg\theta=\frac{dx}{dy}=\frac{1-cos\alpha}{-sen\alpha}=-tg\frac{\alpha}{2}$$
$$\theta=|\frac{\alpha}{2}|$$
$$v=\sqrt{2gr(1-cos\alpha)}=2\sqrt{gr}sen\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{sen\theta}{v}=\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{2sen\frac{\alpha}{2}\sqrt{gr}}=\frac{1}{2\sqrt{gr}}$$
que es una constante y por tanto cumple la ley de Fermat.

La cicloide (I)

Los matemáticos de la antigüedad consideraban a la cicloide la más bella de las curvas, llegándola a llamar la Helena de la Geometría.
La cicloide es la curva que se obtiene cuando se hace rodar, sin deslizar, un disco sobre una superficie horizontal. La trayectoria que describe un punto situado en el borde del disco es la curva llamada cicloide. Por cada giro completo del disco se obtiene un arco de cicloide.
Mersenne la definió de forma rigurosa y Galileo le puso el nombre (en griego significa circular).

ECUACIONES

El punto P de una circunferencia de radio R está situado inicialmente en el origen de coordendas. La circunferencia gira sin deslizamiento y el punto P describe la cicloide al dar la circunferencia una vuelta completa. Las cordenadas del punto P son:

$$x=OA=OB-AB=PB-PD=R\alpha-Rsen\alpha=R(\alpha-sen\alpha)$$ $$y=PA=CB-CD=R-Rcos\alpha=R(1-cos\alpha)$$
LONGITUD $$\frac{dx}{d\alpha}=x'=R(1-cos\alpha)$$ $$\frac{dy}{d\alpha}=y'=Rsen\alpha$$ $$L=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,\mathrm{d}\alpha=R\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-cos\alpha}\,\mathrm{d}\alpha=$$ $$=2R\int_0^{2\pi}sen\frac{\alpha}{2}\,\mathrm{d}\alpha=8R$$

¡La longitud de la cicloide es 8 veces el radio del círculo!

ÁREA
$$L=\int_0^{2\pi R}y\,\mathrm{d}x=R^2\int_0^{2\pi}(1-cos\alpha)^2\,\mathrm{d}\alpha=3\pi R^2$$

¡El área bajo la cicloide es 3 veces el área del círculo que da lugar a ella!

Galileo pensó que no debía ser un número tan redondo y conjeturó que debía ser pi. Roberval y su discípulo Torricelli demostraron los valores de la longitud y del área correctos en el siglo XVII.

Sigue la construcción "paso a paso" y con los deslizadores puedes modificar el radio de la circunferencia y ver la construcción de la cicloide. Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Teorema de Salmon

Dada una circunferencia, hacemos confluir tres cuerdas en un mismo punto. Los puntos medios de estos segmentos son los centros de tres circunferencias que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección obtenidos siempre está alineados.

Este teorema geométrico debe su nombre a George Salmon, matemático y teólogo irlandés del siglo XIX.

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Sistema depredador-presa

La depredación es un tipo de interacción biológica en la que un individuo de una especie animal (depredador) caza a otro individuo (presa) para subsistir.

Los depredadores controlan así el número de individuos de la especie presa, pero a su vez las presas, según su abundancia, controlan el número de individuos de la especie depredadora.

Esta interacción entre depredadores y presa y su evolución en el tiempo fue analizada matemáticamente a través de las ecuaciones de Lotka y Volterra.

En el siguiente modelo se añade una variable que representa la acción humana a través de la caza tanto de presas como de depredadores.

Teorema de Napoleón

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge y creando un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado.

Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.
Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión.

Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si  los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos:

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo GHI, conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Análogamente, si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros interiores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo MNO, conocido como triángulo de Napoleón interior.

Además, el área del triángulo incial ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos exterior e interior.

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El Algebrista

Letra de Enzo R. Gentile

Música del tango “Mano a mano”

Algebrista te volviste

refinado hasta la esencia

oligarca de la ciencia

matemático bacán.

Hoy mirás a los que sudan

en las otras disciplinas

como dama a pobres minas

que laburan por el pan.

¿Te acordás que en otros tiempos

sin mayores pretensiones

mendigabas soluciones

a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso

revisás los postulados

y junás por todos lados

la más vil definición.

Pero no engrupís a nadie

y es inútil que te embales

con anillos, con ideales

y con álgebras de Boole.

Todos saben que hace poco

resolviste hasta matrices

y rastreabas las raíces

con el método de Sturn.

Pero puede que algún día

con las vueltas de la vida

tanta cáscara aburrida

te llegue a cansar al fin.

Y añores tal vez el día

que sin álgebras abstractas

y con dos cifras exactas

te sentías tan feliz.

Si querés cantar el tango aquí tenés la música.

El número de oro y otros números metálicos

A la sucesión de recurrencia:
$$u_{n+1}=pu_{n}+qu_{n-1}$$
le correspnde, en ecuaciones en diferencias, la siguiente ecuación característica:
$$x^{2}-px-q=0$$
cuya solución positiva es:
$$\frac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}$$
Se obtienen así los llamados números metálicos:

p	1	2	3	1	1
q	1	1	1	2	3
número	oro	plata	bronce	cobre	niquel
valor	$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$	$$1+\sqrt{2}$$	$$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$	$$2$$	$$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$

La sucesión con p=q=1 es la conocida sucesión de Fibonacci.
La sucesión generalizada de Fibonacci es:$$G(n+1)=pG(n)+qG(n-1)$$ Y si a y b son los términos iniciales:
$$a,b,pb+qa,p(pb+qa)+qb,...$$ Operando en la expresión recurrente y tomando límites: $$\frac{G(n+1)}{G(n)}=p+\frac{G(n-1)} {G(n)}q$$ $$x=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{G(n+1)}{G(n)}$$ $$x=p+\frac{q}{x}$$ $$x^2-px-q=0$$
se obtiene la ecuación característica de la ecuación en diferencias.

Por tanto, el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci Generalizda tiende siempre al número metálico corespondiente.

La familia de los números metálicos fue introducida en 1995 por la matemática argentina Vera W. Spinadel.

Cuadratura del rectángulo

El conjunto de conocimientos necesarios para erigir los templos y altares se encuentran en los Sulvasutras o reglas de las cuerdas, Sulva se refiere a las cuerda utilizadas para hacer mediciones y sutra al conjunto de las reglas. Los sulvasutras son básicamente un tratado de geometría que utiliza el teorema de Pitágoras y pertenecen a la primera época de la matemática hindú (siglo II de nuestra era). La rectificación y la cuadratura del rectángulo es una de esas construcciones:

Sea AB=a un lado mayor del rectángulo y AD=b un lado menor del rectángulo.

RECTIFICADO: El cuadrado ANMG tiene el mismo perímetro que el rectángulo incial:
$$AG=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$$ $$p=4\frac{a+b}{2}=2(a+b)$$
CUADRATURA: El cuadrado ALHK tiene la misma área que el rectángulo inicial: $$GF=GK=a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}$$ $$AK=\sqrt{AG^2-GK^2}=\sqrt{(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2}=\sqrt{ab}$$
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Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lado opuestos. 

Henry Pitot (1695-1771), fue un ingeniero y físico francés. Fue militar y estudió matemáticas por su cuenta.
Inventó el "tubo de Pitot" que es un instrumento destinado, entre otras aplicaciones a la medición del caudal a través de la cuantificación de la velocidad del flujo y que utilizó para medir el caudal del Sena.

Teorema de Pascal

En un hexágono irregular inscrito en una circunferencia se trazan las prolongaciones de sus lados. Las rectas correspondientes a los lados opuestos se cortan en tres puntos respectivamente. Estos puntos están alineados y determinan la recta de Pascal. La figura en la que se inscribe el hexágono puede ser cualquier sección cónica (elipse, parábola...).

Este teorema, también llamado Hexagrammun Mysticum, es una generalización del Teorema del hexágono de Pappus y del dual proyectivo del Teorema de Brianchon. Fue decubierto por Blaise Pascal a la edad de 16 años.

 Fue generalizado por Möbius en 1847: Si un polígono con 4n+2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n+1 puntos. Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto restante también se encuentra sobre esa línea.

Teorema de Von Aubel

En un cuadrilátero, no necesariamente convexo, se construyen cuadrados adosados sobre sus lados de arista igual a cada arista del cuadrilátero. Si se unen los centros de los cuadrados opuestos, las rectas que pasan por esos centros son perpendiculares.

Si uno de los lados se reduce a un punto, se obtiene un triángulo. En este caso también se cumple el teorema, siendo una de las rectas perpendiculares la que une los centros de los cuadrados construidos sobre dos lados contiguos, y la otra la que une el centro del otro cuadrado con el vértice opuesto del triángulo.

Bancarrota y El Talmud (II)

El reparto de un bien escaso cuando es insuficiente para satisfacer las demandas de todos los acreedores, se conoce como problema de bancarrota. A partir del problema del Talmud se muestran como actúan cinco reglas de reparto:

• Proporcional
• Igualar ganacias
• Igualar pérdidas
• Por orden de llegada
• Talmúdico

El problema del Talmud es el siguiente:

Un deudor en bancarrota debe a sus acreedores 100, 200 y 300 zuzim, respectivamente.

¿Cómo debe repartir la cantidad que dispone, si ésta es de 100, 200, 300 zuzim?

Selectividad de ciencias sociales - Curso 11/12

A continuación aparecen los enunciados y soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y septiembre para el bachillerato de ciencias sociales del curso 11/12.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias - Curso 11/12

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y septiembre para el bachillerato de ciencias del curso 11/12.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Teorema de Torricelli

Se trata de un problema de optimización propuesto por Pierre Fermat (1601-1665). Se considera un triángulo acutángulo ABC y un punto P interior.

Consideramos la suma de las longitudes de los segmentos trazados desde ese punto a los tres vértices. Se trata de encontrar el punto para el cual la suma anterior es mínima. Dicho punto se conoce como punto de Fermat o de Steiner del triángulo. 

El punto fue obtenido por Torricelli y publicado por Cavalieri:

Se construyen tres triángulos equiláteros sobre cada lado del triángulo inicial. Las circunferencias circunscritas a esos triángulos se cortan en el punto de Fermat.

Desintegración radiactiva

El número de átomos que se desintegran en un tiempo dado es directamente proporcional al número de átomos presentes en la muestra. La constante de proporcionalidad es conocida como la constante de desintegración.

$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$

Separando las variables:

$$\frac{dN}{N}=-\lambda t$$

e integrando:

$$\int_{N_0}^N\frac{dN}{N}=-\int_0^t\lambda t dt$$

se obtiene que el número de átomos en función del tiempo:

$$N=N_0 e^{-\lambda t}$$

Se llama periodo de semidesintegración al tiempo t_1/2, para el cual, el número de núcleos iniciales se reduce a la mitad. Cada sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración. Por tanto, si:

$$N=N_0/2$$

$$t_{1/2}=\frac{ln2}{\lambda}$$

La vida media es el valor medio de duración de los átomos de una sustancia radiactiva:

$$\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{t_{1/2}}{0,693}$$

La velocidad de desintegración o actividad radiactiva, es la tasa de variación del número de núcleos radiactivos por unidad de tiempo:

$$A(t)=-\frac{dN(t)}{dt}$$

es directamente proporcional al número de átomos presentes en la muestra:

$$A(t)=-(-\lambda N_0)e^{-\lambda t}=A_0e^{-\lambda t}=\lambda N(t)$$

Tres triángulos equiláteros y uno más

Tres triángulos equiláteros tienen un vértice en el centro de un círculo y los otros dos sobre la circunferencia.

Los puntos medios de los segmentos que unen los vértices de los triángulos que están sobre la circunferencia, se intersectan formando siempre otro triángulo equilátero.

Permutaciones y estrategias

Como abrir una caja fuerte

Un equipo de 5 personas deben abrir una caja fuerte cuya clave consta de 5 dígitos comprendidos entre 0 y 9. Cada persona conoce una de las cifras del código, por ejemplo 3, 7, 6, 5 y 2. Cada persona accede a la caja fuerte en ese orden, sin poder comunicar con los demás.

Los dígitos del teclado se han intercambiado de manera aleatoria y cada persona dispone de 5 intentos para dar con la cifra correcta. A la sexta pulsación el sistema de seguridad bloquea el teclado y ya no se puede abrir la caja fuerte.

Si cada persona escogiera las teclas al azar, la probabilidad de pode abrir la caja fuerte sería:
$$(1/2)^5=3,125 \%$$

¡Podemos multiplicar por algo más de diez la probabilidad de éxito!

• Comenzar por la tecla marcada con el dígito deseado.
• Si la cifra que aparece es la correcta, confirmar. Si no, borrar y pulsar la tecla del dígito aparecido.
• Repetir la operación hasta dar con el número correcto o hasta agotar los intentos.

Supongamos que se ha generado, de manera aleatoria, la siguiente permutación:

 Todas las cifras se obtienen a la 5ª pulsación, por ejemplo para el 3, aparecen sucesivamente 6, 9, 5, 8 y 3.

Esto ocurre porque la permutación tiene dos "ciclos" de 5 elementos, el anterior y el formado por 0, 1, 2, 4, 7.

 En cambio si la permutación aleatoria fuera:

habría un ciclo de 9 elementos: 6, 9, 5, 8, 4, 0, 1, 2, 3 y un ciclo de un sólo elemento: 7.
 Por tanto, si el dígito pertenece a un ciclo de más de 5 elementos se pierde.

¿Por qué esta estrategia es la óptima? 

Lógicamente, ninguna permutación puede contener un ciclo de más de 6 elementos. Estas permutaciones, teniendo en cuenta las diferentes ordenaciones que se pueden obtener, para n>5 son:

$$\binom {10} {n}(n-1)!(10-n)!=\frac{10!}{n}$$

Como hay 10! permutaciones de 10 dígitos, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>5 elementos es 1/n.

Por tanto la probabilidad de abrir la caja fuerte es:
$$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\simeq35,4\%$$

Paradoja de Steiver

Se trata de analizar la evolucíón del valor de unas acciones en bolsa a lo largo del tiempo.

Simulador I: Una inversión aparentement ganadora, es perdedora a largo plazo.

Simulador II: Una combinación de dos de esas inversiones perdedoras, resulta ganadora a largo plazo.

MODELO STEIVER I: Se fijan los porcentajes de ganancia y pérdida y al pulsar “simulación” se genera una serie temporal de inversiones, pudiendo conocer la rentabilidad acumulada hasta un día determinado.

MODELO STEIVER II: Se fijan los porcentajes de ganancia y pérdida y al pulsar “simulación” se genera una serie temporal de inversiones, pudiendo conocer la rentabilidad acumulada hasta un día determinado.

Descargar .XLS

Se proponen una serie de actividades con “lápiz y papel” y simultáneamente se puede utilizar la simulación para “comprobar” los resultados obtenidos. Tanto el cuestionario como las soluciones se pueden ver en el pdf.

Descargar .pdf

Teorema de Monge

El Teorema de Monge, debe su nombre a Gaspard Monge, matemático francés inventor de la Geometría Descriptiva.

Sean tres circunferencias secantes dos a dos. Los tres segmentos, que une los puntos de intersección de cada par de circunferencias, se cortan en un mismo punto.

Teorema de Carnot

El Teorema de Carnot, debe su nombre a Lazare Carnot, político y matemático francés que participó en las guerras revolucionarias francesas.

En un triángulo cualquiera, la suma de distancias del circuncentro a los lados del triángulo es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

El signo de la distancia a un lado es negativa si y solo si el segmento que determina la distancia  está completamente fuera del triángulo.

Pitágoras por Perigal

El Teorema de Pitágoras dice que "en un  triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos":

$$a^2=b^2+c^2$$

Una comprobación (rompecabezas) del teorema se debe a Henri Perigal.

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El arbelos de Arquímedes (III)

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.  

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.