Las cónicas (III) - Origen de sus nombres

No hay duda de que a lo largo de la historia de la matemática los conceptos han sido mucho más importantes que la terminología utilizada, pero no obstante el cambio de nombre de las secciones cónicas debido a Apolonio tiene una importancia mayor que la usual. Durante un siglo y medio aproximadamente estas curvas no tuvieron otro nombre específico más que descripciones triviales de la manera como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo (u oxitoma), secciones de un cono rectángulo (u ortoma) y secciones de un cono obtuso (o amblitoma).

Arquímedes continuó utilizando estos nombres, aunque según parece también usó ya el nombre de parábola, como sinónimo para una sección de un rectángulo. Pero fue realmente Apolonio, posiblemente siguiendo una sugerencia de Arquímedes, quién introdujo por primera vez los nombres de elipse y de hipérbola en conexión con estas curvas. Las palabras "elipse", "parábola" e "hipérbola" no eran nuevas en absoluto y acuñadas para la ocasión, sino que fueron adaptadas a partir de un uso anterior, debido quizá a los pitagóricos en la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas. "Ellipsis", que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada). Mientras que la palabra "Hyperbola" (de "avanzar más allá") se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento dado, y por último la palabra "Parábola" (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no había ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplicó estas palabras en un contexto nuevo, utilizándolas como nombres para las secciones cónicas.

La conocida ecuación moderna de la parábola con vértice en el origen y como eje de simetría el eje de abcisas es y² = kx, donde k es el llamado "latus rectum" o parámetro, que suele representarse por 2p y a veces por 4p; es decir, la parábola tiene la propiedad característica de que para todo punto tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su ordenada y es exactamente igual al rectángulo construido sobre la abscisa x y el parámetro k. Las ecuaciones de elipse y de hipérbola, referidas análogamente a uno de sus vértices como origen son:

donde k es de nuevo el "latus rectum" o parámetro 2b²/a. Es decir, en el caso de la elipse y²<kx, mientras que para la hipérbola y²>kx, y son estas propiedades de las curvas que están expresadas por las respectivas desigualdades las que sugirieron los nombres dados por Apolonio hace más de dos milenios a las secciones cónicas, nombres tan afortunados que han quedado firmemente asociados a ellas hasta hoy.

$$\frac{(x\mp a)^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2}=1$$ o bien $$y^2 = kx \mp \frac{b^2x^2}{a^2}$$

A continuación se muestran las características del modelo: "ORIGEN DE SUS NOMBRES" descargable en el siguiente link:

Descargar .XLS

Se ha desplazado la elipse hacia la derecha y la hipérbola a la izquierda un valor "a", para que se ajusten a las fórmulas anteriores. Este modelo añade al anterior la posibilidad de comprobar como se cumplen las propiedades que dieron origen al nombre de las cónicas: