Método de Lill

El ingeniero y oficial del ejército austríaco Eduard Lill (1830-1900) ideó en matemáticas un procedimiento gráfico para determinar las raíces reales de un polinomio, que en esencia es una representación gráfica del algoritmo de Horner. Publicó su invento en 1867 en la revista francesa 'Nouvelles Annales de Mathématiques', y Charles Hermite proporcionó una descripción del mismo para el 'Compes rendus' del mismo año. Más tarde se conoció como el método de Lill.

El método de Lill implica expresar los coeficientes de un polinomio como magnitudes de una secuencia de segmentos en ángulos rectos entre sí. Encontrar las raíces se convierte en la realización de un problema geométrico. Vamos a explicarlo con el siguiente polinomio:

$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3$$

Siempre se puede hacer que el coeficiente de la potencia más alta sea la unidad, basta dividir todo el polinomio por ese valor. Se construye un primer segmento AB=1 y a continuación se construyen los segmentos perpendiculares correspondientes a los demás coeficientes del polinomio de la siguiente forma:

Hacia arriba BD=5, hacia la izquierda DF=7 y hacia abajo FH=3 porque todos los coeficientes son positivos. Cuando son negativos,  se construyen en el sentido contrario a partir del extremo B. Se traza un segmento AC con el extremo en un punto cualquiera del segmento BD. Se traza el segmento CE perpendicular a AC y el segmento EG perpendicular a CE.

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x$$

$$tg (\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{1}=BC=-x \rightarrow CD=5-(-x)=5+x$$

$$tg (\alpha)=\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{5+x}=-x \rightarrow DE=-x(5+x) \rightarrow EF=7+x(5+x)$$

$$tg (\alpha)=\frac{FG}{EF}=\frac{FG}{7+x(5+x)}=-x \rightarrow FG=-x(7+x(5+x)) \rightarrow $$

$$GH=3+x(7+x(5+x))=3+x(7+5x+x^2)=3+7x+5x^2+x^3$$

Es decir, obtenemos el polinomio pero expresado según el algoritmo de Horner.
Si se divide el polinomio por x+2, se tiene:

$$\frac{1x^3+5x^2+7x+3}{x+2}=1x^2+3x+1+\frac{1}{x+2}$$

Si se observa la figura que AB=1, CD=3 y EF=1 coinciden con los coeficientes del polinomio cociente; GH=1 es el resto de la división y BC=2 es término independiente del divisor. Para obtener una raíz debemos situar el punto C de forma que la construcción de segmentos perpediculares finalice en el punto H. No hay resto y la división es exacta.

$$p(x)=1x^3+5x^2+7x+3=(x+1)^2(x+2)$$

El polinomio tiene tres raíces (una de ellas doble) y se pueden obtener gráficamente.

• Moviendo el punto azul se obtienen dos raíces diferentes.
• Se puede ver o no la obtención de la otra raíz doble.
• Moviendo el punto rojo se obtiene la segunda raíz doble.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Desarrollando las potencias siguientes se observa que los coeficientes de los polinomios son los números combinatorios correspondientes al triángulo de Pascal.

$$(x+1)^0=1$$

$$(x+1)^2=1x^2+2x+1$$

$$(x+1)^3=1x^3+3x^2+3x^1+1$$

$$(x+1)^4=1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$

$$(x+1)^5=1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$

Podemos obtener, de forma gráfica e iterativa, la solución de cada polinomio y mostrando los segmentos cuyos tamaños son los diferentes números combinatorios.

• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.