Matemagia (II)

Vamos a mostrar dos propuestas mágicas basados en los números primos.

• PROPUESTA I: En una mesa coloca en círculo y boca abajo, 13 cartas. Elige una de ellas y la vuelves a poner boca abajo. A partir de esa carta y en el sentido de las agujas del reloj cuenta hasta llegar a la carta 8 y la volteas. A partir de esa carta repite el proceso volteando las cartas, sucesivamente, hasta que falte una que será la que has elegido. No importa al contar que estén del anverso o del reverso.

¡Los dos números han de ser primos entre sí: mcd(13,8)=1!

EXPLICACIÓN:

Sea n es el número de cartas en círculo y p el número pensado para contar con la condición de que mcd(n,p)=1. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la  carta elegida está en posición 0.  A partir de la siguiente, contamos p cartas y se voltea. A partir de ella se cuentan otras p cartas (hemos contado ya 2p) y se voltea. Así sucesivamente 3p, 4p,...Sólo cuando contemos n veces, np será múltiplo de n y sólo quedará sin voltear la carta buscada.

Vamos a simplificarlo a 5 cartas {A,B,C,D,E} colocadas alfabéticamente en el sentido de la agujas del reloj, como se muestra en la figura. Si eliges la carta C (en naranja) y cuentas cada vez 3, se observa que la primera carta en voltear es la A (pasa de gris a blanco).  Y así sucesivamente se volteando las cartas D, B, E. Finalmente queda sin descubrir la carta C.

Al hacer un recuento en círculo es un problema de congruencia módulo 5:

3 mod 5=3 (A), 6 mod 5=1 (D), 9 mod 5=4 (B), 12 mod 5=2 (D), 15 mod 5=0 (C)

• PROPUESTA II: Tomamos un número de tres cifras diferentes abc. A partir de él formamos el número de seis dígitos abcabc. Si se divide por 13, el resultado entero es divisible por 11 y al dividir el resultado por 7 se obtiene el número inicial. Sea el número 739739, al dividir por 13 se obtiene 56903. Al dividir ahora por 11 se obtiene 5173. Si finalmente se divide por 7 se obtiene 739.

¡Con números de esa forma ocurre siempre!

EXPLICACIÓN:

• Un número es divisible por 13 cuando la suma de los productos de las unidades, decenas, centenas... de dicho número por los dígitos de la lista {1,-3,-4.-1,3,4} respectivamente es  0 ó múltiplo de 13. No es el único criterio de divisibilidad.

El número 53927 no es divisible y no se utilizan todos los dígitos de la lista: $$7·1+2·(-3)+9·(-4)+3·(-1)+5·3=-23$$ El número 1604928 si es divisible y se utiliza un dígito dos veces: $$8·1+2·(-3)+9·(-4)+4·(-1)+0·3+6·4+1·1=-13$$ El número abcabc es divisible por 13 independientemente de los valores a, b y c: $$1·c+(-3)·b+(-4)·a+(-1)·c+3·b+4·a=0$$

• Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras impares y la suma de las cifras pares es 0 ó un múltiplo de 11. Se puede iniciar por la derecha o por la izquierda.

El número 57238 no es divisible y el número 945076 si es divisible: $$(5+2+8)-(7+3)=5 \wedge(9+5+7)-(4+0+6)=11$$ El número abcabc es divisible por 11 independientemente de los valoresa,b y c: $$(a+c+b)-(b+a+c)=0$$

• Un número es divisible por 7 cuando la suma de los productos de las unidades, decenas, centenas... de dicho número por los dígitos de la lista {1,3,2.-1,-3,-2} respectivamente es 0 ó múltiplo de 7. No es el único criterio de divisibilidad.

El número 3427 no es divisible y no se utilizan todos los dígitos de la lista:$$7·1+2·3+4·2+3·(-1)=18$$El número 864192 si es divisible y utiliza todos los dígitos:

$$2·1+9·3+1·2+4·(-1)+6·(-3)+8·(-2)=-7$$El número abcabc es divisible por 7 independientemente de los valores a, b y c: $$1·c+3·b+2·a+(-1)·c+(-3)·b+(-2)·a=0$$

• Veamos que al dividir el número abcabc por 7·11·13=1001 se obtiene el número abc:

$$abc·1001= (100a+10b+c)·1001=100100a+10010b+1001c$$ $$=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=abcabc$$