Teorema de Mikami y Kobayashi

Es una de las figuras que aparecen en “tablillas de madera”, Sangaku en japonés, en los templos budistas y santuarios sintoístas. Generalmente, contenían relevantes descubrimientos matemáticos de contenidos geométricos. Estas tablillas se construyeron durante el periodo EDO que duró desde 1603 hasta 1867. Un periodo caracterizado por el aislamiento de Japón del mundo occidental, lo que provocó que no se conociese en ese país el gran desarrollo que en esos siglos tuvo la Matemática en Europa, de tal manera que algunos teoremas, que llamaríamos europeos, fueron también realizados independientemente por japoneses. La aparición de las tablillas en este periodo EDO, va desde la más antigua conservada de 1683 en la prefectura de Tochigi, hasta la de Kinshouzan en 1865. En algunos casos se descubrieron muchos años más tarde de su creación, así por ejemplo, una tablilla realizada en 1814, se descubrió en 1994. Actualmente se conservan algo más de 800 tablillas pero se sabe que su número ha sido muy superior, pues se han perdido o quemado un gran número de ellas.

Al unir los incentros de los triangulos ABC, ACD, ABD y CBD formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se forma un rectángulo.

La recta AQ divide al ángulo MQP en dos ángulos alfa y beta. Por ser M el incentro de ABC se cumple que: $$\frac{\widehat{BAC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}+\frac{\widehat{CBA}}{2}=90$$ y en el triángulo AMB: $$\widehat{BAM}+\widehat{AMB}+\widehat{MBA}=\frac{\widehat{BAC}}{2}+\widehat{AMB}+\frac{\widehat{CBA}}{2}=180$$ Por tanto: $$\widehat{AMB}=90+\frac{\widehat{ACB}}{2}$$ De forma similar, por ser Q el incentro de ABD se cumple que: $$\widehat{AQD}=90+\frac{\widehat{ADB}}{2}$$ Se cumple que: $$\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=\widehat{AMB}=\widehat{AQD}$$ por ser ángulos inscritos que abarcan el mismo arco.

El cuadrilátero AQMB está inscrito en una circunferencia siendo: $$\alpha=\frac{\widehat{CBA}}{2}$$ De manera análoga, el cuadrilátero AQPD está inscrito en una circunferencia siendo: $$\beta=\frac{\widehat{ADC}}{2}$$ Entonces: $$\widehat{MQP}=\alpha+\beta=\frac{\widehat{CBA}+\widehat{ADC}}{2}=\frac{180}{2}=90$$ De forma similar se comprobaría que los ángulos restantes del cuadrilátero son rectos y por tanto AQMB es un rectángulo.

Se pueden desplazar el centro de la circunferencia y los cuatro vértices del rectángulo (los incentros) y así cambiar el tamaño de la figura y comprobar el teorema.