Teorema de Viviani

En un triángulo equilátero la suma de las tres distancias de un punto interior a los lados del triángulo es una indepenediente de la posición del punto y que coincide con la altura del tríángulo.

Demostración:

El triangulo equilátero ABC se puede descomponer en los triángulos: ADB, BDC y ADC siendo D el punto interior. Si el lado del triángulo es l, la altura h y las distancias de D a los lados d₁, d₂ y d₃, se cumple: $$\frac{l \cdot h}{2}=\frac{l \cdot d_1}{2}+\frac{l \cdot d_2}{2}+\frac{l \cdot d_3}{2}$$ $$h=d_1+d_2+d_3$$ El teorema es generalizable a polígonos regulares.

Teorema de Ptolomeo

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, llamado cíclico, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

Además se cumple la fórmula de Brahmagupta, que calcula el área del cuadrilátero:
$$A=\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$ siendo s el semiperímetro:
$$s=\frac{a+b+c+d}{2}$$

Teorema de Kurschak

Determina el área de un dodecaedro regular a partir de los puntos medios de los lados de un cuadrado. Se debe al matemático húngaro Jozsef Kurschak (1864-1933).

Sobre cada uno de los lados de un cuadrado se construyen 4 triángulos equiláteros interiores.Las 8 intersecciones de los lados de esos triángulos y los 4 puntos medios de los lados del nuevo cuadrado formado por los vértices libres de los triángulos, son los vértices de un dodecaedro regular y pasan por la circunferencia inscrita al cuadrado inicial.
En la construcción se observan dos tipos de pequeños triángulos, unos son equiláteros (E) y otros son isósceles (I).

Se observa que el área del cuadrado está formada por 16 triángulos E y 32 triángulos I. $$A_c=16\cdot E +32\cdot I$$ Por otra parte el área del dodecaedro está formada por 12 triángulos E y 24 triángulos I. $$A_d=12\cdot E +24 \cdot I$$ Por tanto: $$A_d=\frac{3}{4}A_c$$ Si la circunferencia inscrita al cuadrado inicial es unitaria (radio unidad) su área vale pi, el área del cuadrado vale 4 y por tanto el área del dodecaedro vale 3.

Se puede modificar el cuadrado desplazando sus vértices inferiores. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".