En un triángulo equilátero la suma de las tres distancias de un punto interior a los lados del triángulo es una indepenediente de la posición del punto y que coincide con la altura del tríángulo.
Demostración:
El triangulo equilátero ABC se puede descomponer en los triángulos: ADB, BDC y ADC siendo D el punto interior. Si el lado del triángulo es l, la altura h y las distancias de D a los lados d1, d2 y d3, se cumple: $$\frac{l \cdot h}{2}=\frac{l \cdot d_1}{2}+\frac{l \cdot d_2}{2}+\frac{l \cdot d_3}{2}$$ $$h=d_1+d_2+d_3$$ El teorema es generalizable a polígonos regulares.
Demostración:
El triangulo equilátero ABC se puede descomponer en los triángulos: ADB, BDC y ADC siendo D el punto interior. Si el lado del triángulo es l, la altura h y las distancias de D a los lados d1, d2 y d3, se cumple: $$\frac{l \cdot h}{2}=\frac{l \cdot d_1}{2}+\frac{l \cdot d_2}{2}+\frac{l \cdot d_3}{2}$$ $$h=d_1+d_2+d_3$$ El teorema es generalizable a polígonos regulares.
Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando los vertices A y B del triángulo puedes cambiar su tamaño y orientación. Al mover el punto D interior al triángulo se comprueba el teorema de Viviani.
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