Puntos de Brocard

En un triángulo ABC se construyen las circunferencias siguientes:

• Pasa por A y es tangente a BC en B
• Pasa por B y es tangente a CA en C
• Pasa por C y es tangente a AB en A

Las tres circunferencias pasan por un mismo punto M llamado punto positivo de Brocard.

Análogamente se construyen otras tres circunferencias:

• Pasa por A y es tangente a BC en C
• Pasa por B y es tangente a CA en A
• Pasa por C y es tangente a AB en B

Las tres circunferencias pasan por un mismo punto N llamado punto negativo de Brocard.

Además si se trazan las cuerdas que unen los puntos M  y N con los vértices del triángulo, se cumple la siguiente igualdad de ángulos:

ACM=BAM=CBM=ABN=BCN=CAN

Estas cuerdas reciben el nombre de primeros y segundos rayos de Brocard, respectivamente.

Teorema de la mariposa

Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene del aspecto final de la construcción que exige el enunciado.

Si el punto E es el punto medio de la cuerda CD de una circunferencia y FG y HI son cuerdas que pasan por E, entonces el punto E es también el punto medio del segmento JK, donde J y K son los puntos de intersección de las cuerdas FI y HG respectivamente, con la cuerda CD.