El aparato de Galton

El aparato de Galton es un mecanismo en el que una bola choca con un tope y se desplaza a izquierda o derecha, choca nuevamente y se desplaza de nuevo a izquierda o derecha y así sucesivamente hasta caer en un casillero final.

Para determinar el número esperado de bolas que caen en cada casillero, se puede considerar que al chocar cada bola se duplica, y una se va por la izquierda y otra por la derecha. Se obtienen así los números del triángulo de Pascal.

En cada nivel se obtienen los números combinatorios:

$$\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right),k=0,1,...n$$

Si consideramos que p es la probabilidad de ir a la derecha (éxito) y q=1-p la de ir a la izquierda (fracaso), la probabilidad esperada en cada casillero es:
$$P(k)=\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) p^kq^{n-k}$$ que sería la probabilidad de k éxitos en un aparato de Galton de n niveles.

La distribución binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta. Da la probabilidad  de k de éxitos en n pruebas de Bernoulli independientes.

Un ensayo de Bernoulli sólo tiene dos resultados posibles: éxito con una probabilidad p o fracaso con una probabilidad q=1-p.

La función de probabilidad es: $$f(x)=P(X=x)=\left( \begin{array}{c} n\\ x \end{array} \right) p^xq^{n-x}$$ siendo la media y la varianza de la distribución: $$E[X]=np \wedge V[X]=npq$$ Si n=1 se obtiene la media y la varianza de la distribución de Bernoulli.