Cuadrados mágicos (II)

 Un cuadrado mágico es una tabla en forma de matriz cuadrada donde las filas, las columnas y las diagonales principales suman el mismo valor y que recibe el nombre de constante mágica.

El cuadrado mágico más famoso es el de Alberto Durero, llamado diabólico, porque la constante mágica se puede obtener combinando 4 celdas de otras muchas formas: las 4 esquinas, las 4 centrales, las 2 centrales de la fila superior e inferior, las 2 centrales de la primera y última columna, cada uno de los subcuadrados en que se divide el cuadrado completo, etc.

Vamos a determinar la constante mágica para los cuadrados mágicos formados por números en progresión aritmética o geométrica.

La suma de los números del cuadrado mágico que están en progresión aritmética de diferencia d es:

$$S=\frac{a_1+a_m}{2}m=\frac{a_1+a_1+(m-1)d}{2}m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}m$$

Si el cuadrado es de tamaño n y su constante mágica es M(n):

$$m=n^2 \wedge S=n \cdot M(n)$$ 

entonces se cumple:

$$n \cdot M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n^2$$

y el valor de la constante mágica para un cuadrado de tamaño n es:

$$M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n$$

De manera análoga, si los números del cuadrado están en progresión geométrica de razón r, se tiene que:

$$M(n)=(a_1^2+r^{n^2-1})^{\frac{n}{2}}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

• Se puede elegir el TÉRMINO INICIAL de la progresión y la DIFERENCIA, si se ha elegido  ARITMÉTICA, o la RAZÓN, si se ha elegido GEOMÉTRICA.
• Se muestra un cuadrado impar de 3x3 y un cuadrado par de 4x4 y sus CONSTANTES MÁGICAS correspondientes.

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