¿Son las votaciones democráticas?

Se tiene asumido que el procedimiento más democrático a la hora de elegir a nuestros representantes es la votación, pero ¿son las votaciones realmente democráticas?  Aquí os presentamos un artículo que a través de un sencillo ejemplo que muestra que la voluntad de mayorías entran en conflictos entre sí, y por tanto es posible que en un procedimiento de elección falle el criterio "siempre-un-ganador".

Supongamos una clase con 49 alumnos que tienen que elegir a su delegado. Hay tres candidatos que llamaremos A, B y C. Cada compañero tiene sus preferencias. Una suposición razonable es que si un votante prefiere a A antes que a B y a B antes que a C, entonces también preferirá a A antes que a C (transitividad). Esto permite asociar a cada votante un orden de preferencia que indicaremos A>B>C.

Supongamos que en nuestra clase los órdenes de preferencia son:

Si se elige el candidato por votación única y cada alumno vota a su candidato preferido los resultados serán:

Para romper el empate entre A y B se hace una nueva votación, en la que sólo se vota a los que quedan en esta segunda vuelta (sistema de votación francés) entonces el resultado es:

Entonces gana B con 25 votos frente a los 24 de A. Cuando van a nombrar a B delegado, un seguidor de C pide que levanten la mano los que prefieren a C antes que a B, y para sorpresa de todos:

 Si una minoría prefiere a B frente a C se debe elegirse a C.

Entonces un seguidor de A pregunta: ¿Quién prefiere a A antes que a C? El resultado es:

¡La confusión se apodera de los alumnos... hemos sido víctimas de la paradoja de Condorcet!

Recibe dicho nombre en honor de Antoine Caritat Condorcet, que estudió el problema a finales del siglo XVIII con la intención de encontrar el tamaño óptimo de los jurados de la Revolución francesa. La paradoja advierte que la transitividad de las preferencias individuales no tiene por qué dar lugar a transitividad en las preferencias colectivas. El hecho de que una mayoría prefiera a A antes que a C y a C antes que a B, no conduce necesariamente a que prefieran a A antes que a B. Se produce un proceso cíclico. La paradoja de Condorcet no se produce siempre. Si eliminamos a los votantes cuya preferencia es B>A>C

En la primera votación se obtendría:

Pero en los enfrentamientos “cara a cara”:

Luego C es preferido a los otros dos candidatos. Decimos que C es un ganador Condorcet. Cuando el método falla como en el primer caso, se recurre a una regla sencilla:

De los enfrentamientos por “pares” se elimina el más reñido, aquel en que la diferencia entre el ganador y el perdedor es mínima. Si después de la eliminación hay un ganador Condorcet, éste es el candidato elegido. En caso contrario se continúa hasta que finalmente haya un ganador Condorcet.

En el caso anterior en el que se produce la paradoja:

Si eliminamos el enfrentamiento A-B, entonces C gana a A y a B y es por tanto un ganador Condorcet. Para salvar estas paradojas, en 1780, el matemático francés Jean-Charles de Borda, cansado del sistema “un hombre-un voto” que se utilizaba en la Academia de Ciencias, propone un nuevo sistema que consideraba más justo (este sistema sólo duró 20 años pues fue prohibido por Napoleón).

El sistema es el siguiente: Cada votante debe ordenar sus candidatos por orden de preferencia. Por tanto en nuestro caso, una preferencia A>B>C daría 2 puntos a A, 1 punto a B y 0 puntos a C. Este sistema de votación da ganador a C: