Las matemáticas, como ciencia instrumental, aparece constantemente en la vida cotidiana, y por tanto no es de extrañar que sea parte argumental de muchas películas. Así que hemos decidido iniciar una serie de artículos comentando grandes (y no tan grandes :p) obras cinematográficas donde las matemáticas están de algún modo presentes.
En esta primera entrega hablaremos de Una mente maravillosa, película dirigida en 2001 por Ron Howard y protagonizada por Russell Crowe y Jenniffer Connelly que narra la vida del matemático John Forbes Nash.
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| Una mente maravillosa |
El argumento empieza con John Nash recién admitido como estudiante en la Universidad de Princenton, donde posteriormente obtuvo su doctorado en matemáticas por su trabajo sobre teoría de juegos no cooperativos, publicado en 1950. Tras finalizar sus estudios aceptó un puesto en el Massachusetts Institute of Technology (MIT) donde conoce a Alicia Larde, una estudiante a la que le enseñaba cálculo multivariable. Se casaron y tuvieron un hijo antes de que Nash fuera involuntariamente internado en un hospital psiquiátrico. Durante las siguientes décadas, Nash experimentó tanto mejoras como recaídas de su esquizofrenia paranoide. Cuidado por Alicia en su casa cerca de Princenton, fue progresivamente volviendo a relacionarse con la comunidad académica y aprendió a rechazar los pensamiento paranoides. Con el paso del tiempo su genialidad disminuye, pero recibe el apoyo de su familia y el respeto de sus colegas. En 1994 es galardonado con el Premio Nobel de Economía por su trabajo sobre teoría de juegos.La película incluye estos detalles biográficos, pero omite muchos otros, tales como no mencionar el divorcio con Alicia en 1953 ni un supuesto caso de homosexualidad, además de añadir alucinaciones visuales y adaptar otros datos referentes a su situación académica y puestos ostentados durante su carrera para dar dramatismo a la historia.
El logro más conocido de John Nash es lo que se conoce como equilibrio de Nash que plantea un conjunto de estrategias, una para cada jugador, que presentan la característica de que ningún jugador está incentivado para cambiar unilateralmente su decisión. Este principio es aplicable en múltiples campos, pero cabe destacar sus uso en economía para modelar las relaciones de competitividad empresarial. Puedes encontrar más detalles en este artículo que publicamos sobre el Dilema del Prisionero.
La película sugiere que un ejemplo que motivó el descubrimiento del equilibrio de Nash podría haber sido las estrategias de cinco pretendientes atraídos por la misma mujer dentro de un grupo de cinco. Como se indica en la película (ver video), un resultado positivo sólo ocurre si cada mujer es abordada por un único pretendiente.
Pero, ¿por qué no es mejor estrategia ir todos a por la mujer más atractiva? Para explicarlo, podemos reducir el juego a sólo dos personas. Cada uno de los dos candidatos, digamos John y Martin, deciden con qué probabilidad, x e y respectivamente, se acercarán a la más atractiva de las mujeres. La recompensa esperada para John es
Pero, ¿por qué no es mejor estrategia ir todos a por la mujer más atractiva? Para explicarlo, podemos reducir el juego a sólo dos personas. Cada uno de los dos candidatos, digamos John y Martin, deciden con qué probabilidad, x e y respectivamente, se acercarán a la más atractiva de las mujeres. La recompensa esperada para John es
$$R_J=xa(1-y)+(1-x)by$$
donde a > b > 0 ya que John, como cabe esperar, prefiere a la mujer más atractiva. Del mismo modo, la recompensa que recibiría Martin es
$$R_M=(1-x)cy+xd(1-y)$$
donde c > d > 0.El equilibrio de Nash en este juego se produce para los siguientes casos:
- Cuando John está seguro que Martín no se interesa por la mujer más atractiva, y entonces el se puede centrar sólo en ella, es decir x=1 e y=0, y por tanto RJ=a y RM=d.
- La situación opuesta al anterior, y entonces x=0 e y=1 y por tanto RJ=b y RM=c.
- En caso de que ambos quieran optar por la mujer más atractiva, el equilibrio de Nash se produce cuando
$$x=\frac{c}{c+d}$$ e $$y=\frac{a}{a+b}$$
con recompensas respectivas de$$R_J=\frac{ba}{a+b}< b $$ e $$R_M=\frac{cd}{c+d} < d $$
El ejemplo anterior muestra que, en el equilibrio de Nash, ningún jugador puede mejorar su recompensa intentando cambiar su estrategia unilateralmente.
Fuente: A beautiful mind, reviewed by Lynne M. Butler. April 2002 issue of Notices of the American Mathematical Society.
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