La paradoja del cumpleaños

¿Te has preguntado alguna vez la probabilidad de que dentro de tu grupo de amigos haya al menos dos que cumplan el mismo día? Aunque te sorprenda, es bastante más alta de lo que te imaginas.

Pongamos que me preguntas cuando celebro mi cumpleaños, y contesto: "Adivina!". Si estuvieras dispuesto a participar, verías que es muy probable que fallaras. Sin contar años bisiestos, hay 365 días en un año, y mi cumpleaños cae uno solo de esos días. Las posibilidades de que acertaras correctamente esa fecha es de 1 entre 365 (es decir un 0.003%). El resultado parece lógico, ya que tiene bastante sentido que sea poco probable que adivines mi cumpleaños.

Ahora imagina que sabes mi cumpleaños. ¿Qué probabilidad hay de que la siguiente persona que te encuentres por la calle cumpla el mismo día que yo? De nuevo, las posibilidades son mínimas, 1 entre 365. Por tanto parece poco probable encontrar dos personas que compartan la fecha de cumpleaños, ¿no? Bueno, no necesariamente.

Digamos que conoces a un grupo de 10 personas. ¿Qué probabilidad hay de que dos de ellas cumplan el mismo día? Sin hacer ningún cálculo, a simple vista parece baja. ¿Y si el grupo es de 20 personas? ¿O de 30? ¿La probabilidad de que dos personas compartan fecha de cumpleaños es tan baja? ¿Qué tamaño tiene que tener el grupo para que sea realmente probable que dos personas cumplan el mismo día? La respuesta puede que te sorprenda. Pero antes de calcularlo, vamos a predecir algo más sencillo: un dado.

Toma dos dados, y lánzalos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el mismo resultado en ambos? (Algo parecido a que dos personas compartan cumpleaños). Una estrategia es calcular la probabilidad de que no coincidan y restársela a la unidad.

Primero calculemos todas las posibles combinaciones con dos dados:

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
41	42	43	44	45	46
51	52	53	54	55	56
61	62	63	64	65	66

Se obtienen 36 combinaciones. Habrías obtenido el mismo resultado multiplicando 6 x 6. ¿Cuántas de ellas dan como resultado parejas diferentes?

xx	12	13	14	15	16
21	xx	23	24	25	26
31	32	xx	34	35	36
41	42	43	xx	45	46
51	52	53	54	xx	56
61	62	63	64	65	xx

Se obtienen 30 combinaciones. De nuevo, habrías obtenido el mismo resultado multiplicando 6 x 5. El primer dado proporciona 6 posibles resultados, y el segundo sólo cinco si quiere satisfacer la condición de no coincidir. Por tanto la probabilidad de lanzar dos dados y que el resultado no coincida es 30/36 = 5/6. La probabilidad de la situación opuesta - que los dados coincidan - es por tanto 1 - 5/6 = 1/6.

Hubiera sido más fácil contar el número de coincidencias en nuestra tabla, pero matemáticamente es más manejable cuando lo aplicamos a calcular la probabilidad de que dos personas en un grupo compartan fecha de cumpleaños. Hablando de ello, ¡vamos a calcularlo ahora!

Supongamos que tenemos una clase con 30 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de esos alumnos cumplan el mismo día?

1. Contemos todas las posibles combinaciones. En el ejemplo de los dos damos, el total era 6x6, por tanto en este caso es 365 x 365 x 365 x ... (hasta 30 veces) = 365³⁰. Este es nuestro denominador, que ya podemos ver que es un número enorme.
2. Al igual que en el caso de los dados, calculemos las combinaciones de que la fecha de cumpleaños de los estudiantes no coincida. La primera persona dice su cumpleaños,  la segunda persona tiene que elegir entre 364 días, la tercera entre 363 días, etc. Recuerda que pare el caso del dado era 6x5. Pues aquí hacemos lo mismo, es decir, 365 x 364 x 363 x 362 x ... x 339 x 338 x 337 x 336. Este es nuestro numerador.

Si lo expresamos de forma analítica, la probabilidad de que al menos dos alumnos cumplan el mismo día en un grupo de n estudiantes se puede calcular como:

$$P(n)=1-\frac{365!}{(365-n)!} \cdot \frac{1}{365^n}$$

Si n = 30 entonces P(n) = 70.63%. En el ejemplo clásico se menciona que para tener una probabilidad de alrededor del 50% sólo se necesita un grupo de 23 personas. Y esta es la paradoja del cumpleaños, que no hay que confundir con la probabilidad de que alguien de un grupo de n personas cumpla el mismo día que tú.

Fuente: The Birthday Paradox. Curiusmath: math is an attitude.